3.2.2 Lokale bewerkingen

Als je twee qubits hebt, werkt een lokale bewerking maar op één van de qubits. Elke één-qubit bewerking kan worden gebruikt als een lokale bewerking die werkt op één van de twee qubits, net zoals het geval was voor probabilistische bits in Paragraaf 3.1.2. Als je bijvoorbeeld terugdenkt aan de één-bit NOT-bewerking van Vgl. 1.17 en hoe we die hebben omgezet in lokale NOT-bewerkingen in Vgl. 3.6 en 3.7, dan kunnen we precies hetzelfde doen voor de één-qubit NOT. De verkregen lokale quantum NOT-bewerkingen lijken hier erg op:

NOT1⁢|00⟩=|10⟩,NOT1⁢|01⟩=|11⟩,NOT1⁢|10⟩=|00⟩,NOT1⁢|11⟩=|01⟩,\displaystyle\mathrm{NOT}_{1}\,\left|00\right\rangle=\left|10\right\rangle,% \quad\mathrm{NOT}_{1}\,\left|01\right\rangle=\left|11\right\rangle,\quad% \mathrm{NOT}_{1}\,\left|10\right\rangle=\left|00\right\rangle,\quad\mathrm{NOT% }_{1}\,\left|11\right\rangle=\left|01\right\rangle,
NOT2⁢|00⟩=|01⟩,NOT2⁢|01⟩=|00⟩,NOT2⁢|10⟩=|11⟩,NOT2⁢|11⟩=|10⟩.\displaystyle\mathrm{NOT}_{2}\,\left|00\right\rangle=\left|01\right\rangle,% \quad\mathrm{NOT}_{2}\,\left|01\right\rangle=\left|00\right\rangle,\quad% \mathrm{NOT}_{2}\,\left|10\right\rangle=\left|11\right\rangle,\quad\mathrm{NOT% }_{2}\,\left|11\right\rangle=\left|10\right\rangle.

Het enige verschil is dat we de bitnotatie [a⁢b][ab] hebben vervangen door de qubitnotatie |a⁢b⟩\left|ab\right\rangle.

Laten we dit eens toepassen door alle vier mogelijke twee-qubit basistoestanden op te bouwen uit |00⟩\left|00\right\rangle. Dit kan altijd gedaan worden door een reeks NOT-bewerkingen:

|00⟩=|00⟩,|01⟩=NOT2⁢|00⟩,|10⟩=NOT1⁢|00⟩,|11⟩=NOT2⁢NOT1⁢|00⟩.\displaystyle\left|00\right\rangle=\left|00\right\rangle,\quad\left|01\right% \rangle=\mathrm{NOT}_{2}\,\left|00\right\rangle,\quad\left|10\right\rangle=% \mathrm{NOT}_{1}\,\left|00\right\rangle,\quad\left|11\right\rangle=\mathrm{NOT% }_{2}\;\mathrm{NOT}_{1}\,\left|00\right\rangle.

Merk op dat we in het laatste geval de twee NOT-bewerkingen in de omgekeerde volgorde hadden kunnen uitvoeren, omdat beide gevallen neerkomen op het omdraaien van beide bits. Met andere woorden, NOT2⁢NOT1=NOT1⁢NOT2\mathrm{NOT}_{2}\mathrm{NOT}_{1}=\mathrm{NOT}_{1}\mathrm{NOT}_{2}.

Om een lokale bewerking in Quirky toe te passen, plaats je het corresponderende vakje op de eerste of de tweede draad. De volgende procedure maakt bijvoorbeeld de toestand |10⟩\left|10\right\rangle en toont de waarschijnlijkheden bij het meten van beide qubits:

[Uncaptioned image]

Dit is logisch omdat de onderste draad in Quirky overeenkomt met het eerste qubit.

Dit is het makkelijkst te formuleren met behulp van de tensorproductnotatie uit Vgl. 3.50 en lineariteit. Als UU een arbitraire één-qubit bewerking is , definiëren we U1U_{1} als de twee-qubit bewerking die werkt op elke basisvector |a,b⟩=|a⟩⊗|b⟩\left|a,b\right\rangle=\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle, waarbij a,b∈{0,1}a,b\in\{0,1\}, als volgt:

U1⁢|a,b⟩=U⁢|a⟩⊗|b⟩.\displaystyle U_{1}\left|a,b\right\rangle=U\!\left|a\right\rangle\otimes\left|% b\right\rangle. (3.52)

Voor de duidelijkheid, de rechterkant betekent (U⁢|a⟩)⊗|b⟩(U\!\left|a\right\rangle)\otimes\left|b\right\rangle, oftewel het tensorproduct van de toestand U⁢|a⟩U\left|a\right\rangle en de toestand |b⟩\left|b\right\rangle. Dit is intuïtief, want het betekent gewoon dat we UU toepassen op het eerste quantumbit en het tweede quantumbit met rust laten.

Om U1U_{1} toe te passen op een arbitraire twee-qubit toestand breiden we het uit door lineariteit. Net als in de eerste week betekent dit dat we eerst |ψ⟩\left|\psi\right\rangle uitschrijven in de vorm van Vgl. 3.31 en dan de bewerking toepassen op elke basisvector. Dat wil zeggen,

U1⁢|ψ⟩=ψ00⁢U1⁢|00⟩+ψ01⁢U1⁢|01⟩+ψ10⁢U1⁢|10⟩+ψ11⁢U1⁢|11⟩\displaystyle U_{1}\left|\psi\right\rangle=\psi_{00}\,U_{1}\left|00\right% \rangle+\psi_{01}\,U_{1}\left|01\right\rangle+\psi_{10}\,U_{1}\left|10\right% \rangle+\psi_{11}\,U_{1}\left|11\right\rangle

en nu kunnen we Vgl. 3.52 gebruiken voor elk van de vier termen. Op dezelfde manier definiëren we U2U_{2} door

U2⁢|a,b⟩=|a⟩⊗U⁢|b⟩\displaystyle U_{2}\left|a,b\right\rangle=\left|a\right\rangle\otimes U\left|b\right\rangle (3.53)

en breiden dit uit door lineariteit. Dit is vergelijkbaar met de formules in Vgl. 3.27 voor gewone bits.

Naast de NOT-bewerking zijn er twee belangrijke quantumoperaties die we voortdurend zullen gebruiken: de ZZ-bewerking uit Vgl. 2.26 en de Hadamard-bewerking uit Vgl. 2.34. Omdat deze zo belangrijk zijn, hebben we ze hun eigen vakjes gegeven in Quirky, namelijk ZZ en HH. De volgende serie bewerkingen past bijvoorbeeld een NOT\mathrm{NOT} toe op het tweede (!) qubit, dan een Hadamard op het eerste qubit en tenslotte een ZZ, weer op het eerste qubit:

[Uncaptioned image]
\href https://www.quantum-quest.org/quirky/QuirkyQuest3Q.html#circuit=%7B%22% cols%22%3A%5B%5B%22NOT%22%5D%2C%5B1%2C%22H%22%5D%2C%5B1%2C%22Z%22%5D%2C%5B%22% Measure%22%2C%22Measure%22%5D%2C%5B%22Chance2%22%5D%5D%7D (3.54)

Wat is de toestand die we op deze manier krijgen? De wiskundige uitdrukking voor deze toestand is

Z1⁢H1⁢NOT2⁢|00⟩.Z_{1}H_{1}\mathrm{NOT}_{2}\left|00\right\rangle. (3.55)

Merk op dat, in tegenstelling tot de grafische voorstelling van (3.54), de invoertoestand |00⟩\left|00\right\rangle in deze uitdrukking aan de rechterkant staat. Hierdoor lijkt de volgorde van bewerkingen omgedraaid. Maar zowel  (3.54) als Vgl. 3.55 beschrijven hetzelfde proces – de eerste bewerking die wordt toegepast op |00⟩\left|00\right\rangle is NOT2\mathrm{NOT}_{2}, dan H1H_{1} en tenslotte Z1Z_{1}. Het enige verschil tussen  (3.54) en Vgl. 3.55 is de manier waarop de richting van de tijd wordt weergegeven: het gaat van links naar rechts in  (3.54) en van rechts naar links in Vgl. 3.55. Helaas zijn deze twee tegenstrijdige conventies standaard in quantum computing, we kunnen er niets aan doen. Je moet dus voorzichtig zijn met het vertalen van Quirky-plaatjes naar vergelijkingen en vice versa!

Oefenopgave 3.8 (Heeft Quirky gelijk?).

Bepaal de twee-qubit toestand van Vgl. 3.55 (dus vlak voor de meting in (3.54)). Bereken de kans van de meetresultaten en vergelijk je resultaat met Quirky.

Solution. We beginnen met de toestand |00⟩\left|00\right\rangle. Na de NOT op het tweede qubit krijgen we |01⟩\left|01\right\rangle. De Hadamard op het eerste qubit zet dit om in |+⟩⊗|1⟩=12⁢|01⟩+12⁢|11⟩\left|+\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|01% \right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|11\right\rangle en met de laatste ZZ-bewerking krijgen we vlak voor de meting de volgende twee-qubitstoestand:
12⁢|01⟩−12⁢|11⟩.\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left|01\right\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}\left|1% 1\right\rangle.
Dus we krijgen ofwel 0101 of 1111 met op een beide een kans van 50%.

Vorige week, in Paragraaf 2.4.3, hebben we besproken dat elke bewerking op een enkele qubit óf een rotatie U⁢(θ)U(\theta) óf een spiegeling V⁢(θ)=NOT⁢U⁢(θ)V(\theta)=\mathrm{NOT}\,U(\theta) is. Omdat we arbitraire rotaties kunnen maken in Quirky (zie Paragraaf 2.4.1 in de aantekeningen van vorige week), kunnen we dus arbitraire lokale operaties toepassen op elk van de qubits van Quirky.

De regels van Vgl. 3.52 en 3.53 werken niet alleen voor basisvectoren, maar in feite voor alle producttoestanden. Dat wil zeggen, als |α⟩\left|\alpha\right\rangle en |β⟩\left|\beta\right\rangle arbitraire één-qubit toestanden zijn , dan geldt

U1⁢(|α⟩⊗|β⟩)\displaystyle U_{1}\left(\left|\alpha\right\rangle\otimes\left|\beta\right% \rangle\right) =U⁢|α⟩⊗|β⟩,\displaystyle=U\left|\alpha\right\rangle\otimes\left|\beta\right\rangle, (3.56)
U2⁢(|α⟩⊗|β⟩)\displaystyle U_{2}\left(\left|\alpha\right\rangle\otimes\left|\beta\right% \rangle\right) =|α⟩⊗U⁢|β⟩.\displaystyle=\left|\alpha\right\rangle\otimes U\left|\beta\right\rangle. (3.57)
Oefenopgave 3.9 (Lokale bewerkingen op producttoestanden (optioneel)).

Kan je laten zien dat Vgl. 3.56 of (3.57) klopt?

Solution. We laten alleen zien hoe we Vgl. 3.56 kunnen nagaan (de andere vergelijking kan op precies dezelfde manier worden afgeleid). We stellen hiervoor dat α=α0⁢|0⟩+α1⁢|1⟩\alpha=\alpha_{0}\left|0\right\rangle+\alpha_{1}\left|1\right\rangle en β=β0⁢|0⟩+β1⁢|1⟩\beta=\beta_{0}\left|0\right\rangle+\beta_{1}\left|1\right\rangle. Dan geldt dat
U1⁢(|α⟩⊗|β⟩)\displaystyle U_{1}\left(\left|\alpha\right\rangle\otimes\left|\beta\right% \rangle\right) =U1⁢(α0⁢β0⁢|00⟩+α0⁢β1⁢|01⟩+α1⁢β0⁢|10⟩+α1⁢β1⁢|11⟩)\displaystyle=U_{1}\left(\alpha_{0}\beta_{0}\left|00\right\rangle+\alpha_{0}% \beta_{1}\left|01\right\rangle+\alpha_{1}\beta_{0}\left|10\right\rangle+\alpha% _{1}\beta_{1}\left|11\right\rangle\right)
=α0⁢β0⁢U1⁢|00⟩+α0⁢β1⁢U1⁢|01⟩+α1⁢β0⁢U1⁢|10⟩+α1⁢β1⁢U1⁢|11⟩\displaystyle=\alpha_{0}\beta_{0}U_{1}\left|00\right\rangle+\alpha_{0}\beta_{1% }U_{1}\left|01\right\rangle+\alpha_{1}\beta_{0}U_{1}\left|10\right\rangle+% \alpha_{1}\beta_{1}U_{1}\left|11\right\rangle
=α0⁢β0⁢U⁢|0⟩⊗|0⟩+α0⁢β1⁢U⁢|0⟩⊗|1⟩+α1⁢β0⁢U⁢|1⟩⊗|0⟩+α1⁢β1⁢U⁢|1⟩⊗|1⟩\displaystyle=\alpha_{0}\beta_{0}U\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right% \rangle+\alpha_{0}\beta_{1}U\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle+% \alpha_{1}\beta_{0}U\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle+\alpha_{1}% \beta_{1}U\left|1\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle
=α0⁢U⁢|0⟩⊗(β0⁢|0⟩+β1⁢|1⟩)+α1⁢U⁢|1⟩⊗(β0⁢|0⟩+β1⁢|1⟩)\displaystyle=\alpha_{0}U\left|0\right\rangle\otimes(\beta_{0}\left|0\right% \rangle+\beta_{1}\left|1\right\rangle)+\alpha_{1}U\left|1\right\rangle\otimes(% \beta_{0}\left|0\right\rangle+\beta_{1}\left|1\right\rangle)
=α0⁢U⁢|0⟩⊗|β⟩+α1⁢U⁢|1⟩⊗|β⟩\displaystyle=\alpha_{0}U\left|0\right\rangle\otimes\left|\beta\right\rangle+% \alpha_{1}U\left|1\right\rangle\otimes\left|\beta\right\rangle
=(α0⁢U⁢|0⟩+α1⁢U⁢|1⟩)⊗|β⟩\displaystyle=(\alpha_{0}U\left|0\right\rangle+\alpha_{1}U\left|1\right\rangle% )\otimes\left|\beta\right\rangle
=U⁢|α⟩⊗|β⟩\displaystyle=U\left|\alpha\right\rangle\otimes\left|\beta\right\rangle
volgens Vgl. 3.50, de definitie van U1U_{1} en lineariteit.