3.2.4 ’Controlled’ bewerkingen

Om meer te kunnen produceren dan producttoestanden, hebben we een bewerking nodig die de wisselwerking tussen twee quantumbits mogelijk maakt. Zoals eerder (zie Vgl. 2.32 voor probabilistische bits), zullen we hiervoor een controlled-NOT-bewerking gebruiken, die we op dezelfde manier definiëren als Vgl. 3.19 en 3.20:

CNOT1→2⁢|00⟩\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\left|00\right\rangle =|00⟩,\displaystyle=\left|00\right\rangle, (3.63)
CNOT1→2⁢|01⟩\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\left|01\right\rangle =|01⟩,\displaystyle=\left|01\right\rangle,
CNOT1→2⁢|10⟩\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\left|10\right\rangle =|11⟩,\displaystyle=\left|11\right\rangle,
CNOT1→2⁢|11⟩\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\left|11\right\rangle =|10⟩,\displaystyle=\left|10\right\rangle,

of korter gezegd,

CNOT1→2⁢|a,b⟩=|a,a⊕b⟩.\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\left|a,b\right\rangle=\left|a,a\oplus b% \right\rangle. (3.64)

De bewerking CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2} wisselt dus bij basistoestanden het tweede qubit om, afhankelijk van de waarde van het eerste qubit. We kunnen ook een bewerking CNOT2→1\mathrm{CNOT}_{2\to 1} definiëren die het tweede qubit als controle gebruikt en het eerste als doel, dus,

CNOT2→1⁢|a,b⟩=|a⊕b,b⟩.\displaystyle\mathrm{CNOT}_{2\to 1}\,\left|a,b\right\rangle=\left|a\oplus b,b% \right\rangle. (3.65)

Zoals gebruikelijk breiden we deze formules lineair uit naar arbitraire twee-qubit toestanden.

In Quirky kun je een controlled-NOT-bewerking voor quantumbits maken op dezelfde manier als je geleerd hebt voor gewone bits – zie Paragraaf 3.1.6 voor het geval je niet meer weet hoe. De bewerking CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2} voor quantumbits ziet er dus net zo uit als voorheen:

[Uncaptioned image]

Veel van de dingen die we bewezen hebben voor probabilistische bits zijn nog steeds waar voor quantumbits. Je oplossing van 3.2 laat je bijvoorbeeld net zo goed twee quantumbits verwisselen! Een ander voorbeeld hiervan is het feit dat twee keer dezelfde controlled-NOT-bewerking uitvoeren neerkomt op helemaal niets doen. Voor CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2} geldt dit bijvoorbeeld omdat

CNOT1→2⁢CNOT1→2⁢|a,b⟩=CNOT1→2⁢|a,a⊕b⟩=|a,a⊕a⊕b⟩=|a,b⟩\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\left|a,b\right\rangle=\mathrm{% CNOT}_{1\to 2}\left|a,a\oplus b\right\rangle=\left|a,a\oplus a\oplus b\right% \rangle=\left|a,b\right\rangle

omdat a⊕a=0a\oplus a=0 voor elke a∈{0,1}a\in\{0,1\}. Het gevolg is dat de controlled-NOT-bewerking de inverse is van zichzelf:

CNOT1→2−1=CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2}^{{-1}}=\mathrm{CNOT}_{1\to 2} (3.66)

waarbij M−1M^{{-1}} de inverse van de bewerking MM is (zie Paragraaf 2.4.2).

Als je een beetje rond hebt gespeeld met Quirky, heb je misschien gemerkt dat je ∙\bullet kunt combineren met elke willekeurige één-qubit bewerking, niet alleen met de NOT-bewerking. We kunnen namelijk een controlled-UU-bewerking definiëren voor elke één-qubit bewerking UU. Deze worden aangeduid met C⁢U1→2\mathrm{C}U_{1\to 2} en C⁢U2→1\mathrm{C}U_{2\to 1}, afhankelijk van welke qubit de controle is en welke het doel. C⁢U1→2\mathrm{C}U_{1\to 2} wordt bijvoorbeeld als volgt gedefinieerd op de vier basistoestanden:

C⁢U1→2⁢|00⟩\displaystyle\mathrm{C}U_{1\to 2}\left|00\right\rangle =|0⟩⊗|0⟩,\displaystyle=\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle,
C⁢U1→2⁢|01⟩\displaystyle\mathrm{C}U_{1\to 2}\left|01\right\rangle =|0⟩⊗|1⟩,\displaystyle=\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle,
C⁢U1→2⁢|10⟩\displaystyle\mathrm{C}U_{1\to 2}\left|10\right\rangle =|1⟩⊗U⁢|0⟩,\displaystyle=\left|1\right\rangle\otimes U\left|0\right\rangle,
C⁢U1→2⁢|11⟩\displaystyle\mathrm{C}U_{1\to 2}\left|11\right\rangle =|1⟩⊗U⁢|1⟩.\displaystyle=\left|1\right\rangle\otimes U\left|1\right\rangle.

Je kunt snel nagaan dat als U=N⁢O⁢TU=NOT dit neerkomt op onze definitie van CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2}.