3.2 Twee quantumbits

De manier waarop we twee quantumbits kunnen beschrijven lijkt heel erg op de manier waarop we twee probabilistische bits beschrijven. Het belangrijkste verschil is dat we met amplitudes werken in plaats van waarschijnlijkheden, wat betekent dat ze negatief kunnen zijn en op een andere manier genormaliseerd worden (zie Paragraaf 2.1.1). Een algemene twee-qubit quantumtoestand ziet er als volgt uit:

|ψ⟩=ψ00⁢|00⟩+ψ01⁢|01⟩+ψ10⁢|10⟩+ψ11⁢|11⟩\left|\psi\right\rangle=\psi_{00}\left|00\right\rangle+\psi_{01}\left|01\right% \rangle+\psi_{10}\left|10\right\rangle+\psi_{11}\left|11\right\rangle (3.31)

waarbij ψi⁢j∈[−1,1]\psi_{ij}\in[-1,1] en

ψ002+ψ012+ψ102+ψ112=1.\psi_{00}^{2}+\psi_{01}^{2}+\psi_{10}^{2}+\psi_{11}^{2}=1.

We noteren |a,b⟩\left|a,b\right\rangle in plaats van [a,b][a,b] om duidelijk te maken dat we nu te maken hebben met quantumbits en niet met probabilistische bits. Net zoals we deden in Vgl. 3.3 voor probabilistische bits, kunnen we de vier basistoestanden |a,b⟩\left|a,b\right\rangle identificeren met de vier basisvectoren

|00⟩=(1000),|01⟩=(0100),|10⟩=(0010),|11⟩=(0001).\displaystyle\left|00\right\rangle=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\qquad\left|01\right\rangle=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\qquad\left|10\right\rangle=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\qquad\left|11\right\rangle=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}. (3.48)

Net als bij Vgl. 3.1, kan de algemene twee-qubit-toestand in Vgl. 3.31 gerepresenteerd worden door een 4-vector

(ψ00ψ01ψ10ψ11).\begin{pmatrix}\psi_{00}\\ \psi_{01}\\ \psi_{10}\\ \psi_{11}\end{pmatrix}.

Het wordt alleen al snel omslachtig om met zulke vectoren te werken. Ook zijn ze niet meer zo makkelijk te visualiseren, dus we zullen meestal werken met de |a,b⟩\left|a,b\right\rangle notatie van Vgl. 3.31.

Een ander voordeel van deze notatie is dat het veel eenvoudiger is om quantumsystemen te combineren. Denk terug aan Paragraaf 3.1.7 waarin we de tensorproductbewerking ’⊗\otimes’ gebruikten om twee onafhankelijke probabilistische bits te combineren tot een gezamenlijk twee-bits systeem. Dezelfde bewerking (maar dan met |a⟩\left|a\right\rangle in plaats van [a][a]) werkt ook voor qubits. Net zoals we de basisvectoren van probabilistische bits hebben gecombineerd in Vgl. 3.25, kunnen we dit ook doen voor qubits:

|0⟩⊗|0⟩=|00⟩,|0⟩⊗|1⟩=|01⟩,|1⟩⊗|0⟩=|10⟩,|1⟩⊗|1⟩=|11⟩.\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle=\left|00\right\rangle,\qquad% \left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle=\left|01\right\rangle,\qquad% \left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle=\left|10\right\rangle,\qquad% \left|1\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle=\left|11\right\rangle. (3.49)

Merk op dat dit hetzelfde is als gewoon de bitstrings aan elkaar te plakken. Dit geeft je een andere manier om de vier twee-qubit basisvectoren in Vgl. 3.48 te zien.

We kunnen de tensorproductbewerking uitbreiden om twee willekeurige één-qubit toestanden |α⟩=α0⁢|0⟩+α1⁢|1⟩\left|\alpha\right\rangle=\alpha_{0}\left|0\right\rangle+\alpha_{1}\left|1\right\rangle en |β⟩=β0⁢|0⟩+β1⁢|1⟩\left|\beta\right\rangle=\beta_{0}\left|0\right\rangle+\beta_{1}\left|1\right\rangle te combineren op de volgende manier:

|α⟩⊗|β⟩\displaystyle\left|\alpha\right\rangle\otimes\left|\beta\right\rangle =(α0⁢|0⟩+α1⁢|1⟩)⊗(β0⁢|0⟩+β1⁢|1⟩)\displaystyle=\lparen\alpha_{0}\left|0\right\rangle+\alpha_{1}\left|1\right% \rangle\rparen\otimes\lparen\beta_{0}\left|0\right\rangle+\beta_{1}\left|1% \right\rangle\rparen (3.50)
=α0⁢β0⁢|00⟩+α0⁢β1⁢|01⟩+α1⁢β0⁢|10⟩+α1⁢β1⁢|11⟩.\displaystyle=\alpha_{0}\beta_{0}\left|00\right\rangle+\alpha_{0}\beta_{1}% \left|01\right\rangle+\alpha_{1}\beta_{0}\left|10\right\rangle+\alpha_{1}\beta% _{1}\left|11\right\rangle.

Twee-qubit toestanden van deze vorm worden producttoestanden genoemd. In Paragraaf 3.2.3 bespreken we hoe we deze toestanden kunnen maken met behulp van quantumbewerkingen. Belangrijk is dat, net als voor twee probabilistische bits, niet alle twee-qubit toestanden producttoestanden zijn.

Oefenopgave 3.7 ( Tensorproduct en producttoestanden ).

Gebruik de toestanden |+⟩\left|+\right\rangle en |−⟩\left|-\right\rangle uit 2.1.

  1. 1.
    ​

    Schrijf |+⟩⊗|−⟩\left|+\right\rangle\otimes\left|-\right\rangle in dezelfde vorm als Vgl. 3.31.

  2. 2.
    ​

    Is de toestand 12⁢(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)\frac{1}{2}\left(\left|00\right\rangle+\left|01\right\rangle+\left|10\right% \rangle+\left|11\right\rangle\right) een producttoestand?

Solution.
  1. 1.
    |+⟩⊗|−⟩=\displaystyle\left|+\right\rangle\otimes\left|-\right\rangle= (12⁢|0⟩+12⁢|1⟩)⊗(12⁢|0⟩−12⁢|1⟩)\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}% \left|1\right\rangle\right)\otimes\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle% -\frac{1}{\sqrt{2}}\left|1\right\rangle\right)
    =\displaystyle= 12⁢|00⟩−12⁢|01⟩+12⁢|10⟩−12⁢|11⟩.\displaystyle\frac{1}{2}\left|00\right\rangle-\frac{1}{2}\left|01\right\rangle% +\frac{1}{2}\left|10\right\rangle-\frac{1}{2}\left|11\right\rangle.
  2. 2.
    12⁢(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)=12⁢(|0⟩+|1⟩)⊗12⁢(|0⟩+|1⟩)=|+⟩⊗|+⟩.\displaystyle\frac{1}{2}(\left|00\right\rangle+\left|01\right\rangle+\left|10% \right\rangle+\left|11\right\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\left|0\right\rangle+% \left|1\right\rangle)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}(\left|0\right\rangle+\left|1% \right\rangle)=\left|+\right\rangle\otimes\left|+\right\rangle.
    ​

    Dit is dus een producttoestand.

Hieronder bespreken we de regels voor het meten en bewerken van twee quantumbits. Ook al zijn deze regels volledig vergelijkbaar met het geval van twee probabilistische bits, zullen we onderweg toch een aantal nieuwe en verrassende verschijnselen tegenkomen. Gelukkig kan Quirky ons deze week ook helpen om de wereld van twee quantumbits te verkennen! Ga om te beginnen naar:

https://www.quantum-quest.org/quirky

en klik op ’Quest 3’ en dan op ’Two Qubits’. Je webbrowser zal er ongeveer hetzelfde uitzien als Fig. 3.4. Vergeleken met de Quirky van vorige week, hebben we nu twee quantumbits, die zijn ingesteld in de toestand |00⟩\left|00\right\rangle. Daarnaast zijn er drie nieuwe vakjes: ZZ, HH, en ∙\bullet (en het mysterievakje is weer verdwenen). Deze zullen we in de rest van dit hoofdstuk bespreken.

Refer to caption

Figuur 3.4: Quirky voor Quest 3.