2.1.2 Een qubit als een cirkel

Merk op dat de vergelijking Vgl. 2.4 voor qubit-amplitudes lijkt op de vergelijking $x^{2}+y^{2}=1$ van een cirkel. Laten we deze overeenkomst verder uitwerken, omdat dat ons zal helpen quantumbits te visualiseren en op een meer intuïtief niveau te begrijpen.

Een handige manier om de qubit-amplitudes te parametriseren is als

met een hoek $\theta\in[0,2\pi)$. In de praktijk zal het vaak handig zijn als we toestaan dat de hoek  $\theta$ een arbitrair reëel getal is (wat prima is zolang we in gedachten houden dat twee hoeken die $2\pi$ verschillen dezelfde amplitudes geven). Aangezien $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$, voldoen we automatisch aan Vgl. 2.4. Met deze keuze ziet een algemene qubit-toestand er als volgt uit:

Je kan dit voorstellen als een eenheidsvector in twee dimensies die begint bij de oorsprong en een hoek $\theta$ maakt met de horizontale $\left|0\right\rangle$-as (zie Fig. 2.1). Als voorbeeld geldt dat $\left|0\right\rangle=\left|\psi(0)\right\rangle$ en $\left|1\right\rangle=\left|\psi(\frac{\pi}{2})\right\rangle$. De verzameling van alle qubit-toestanden komt dan overeen met een eenheidscirkel met het middelpunt in de oorsprong. Bij probabilistische bits liggen de mogelijke toestanden daarentegen op een lijnstuk dat de punten $\bigl{(}\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\bigr{)}$ en $\bigl{(}\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\bigr{)}$ op de assen verbindt, zoals we in Fig. 1.2 hebben gezien. In Fig. 2.2 worden de twee verzamelingen vergeleken.