2.2 Het meten van een quantumbit

We weten nu dat elke qubit-toestand de vorm |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle heeft. Stel nu dat je een toestand van |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle hebt en je wilt weten wat de waarde van θ\theta is. Helaas kan je dat niet te weten komen volgens de quantummechanica! Dit lijkt een groot probleem – waar is een quantumcomputer goed voor als je niet eens achter het antwoord kan komen? Nou, niet zo snel! Volgens Vgl. 1.32 geldt hetzelfde voor probabilistische bits: als je een probabilistische bit met de verdeling (p0p1)\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)} meet, kan je ook niet p0p_{0} of p1p_{1} vaststellen. Je krijgt alleen een enkele bit van informatie: 0 met kans p0p_{0} en 11 met kans p1p_{1}.

De quantum-meting lijkt hier veel op en wordt beschreven door de zogenaamde Born-regel. Als je een qubit in de toestand (ψ0ψ1)=ψ0⁢|0⟩+ψ1⁢|1⟩\bigl{(}\begin{smallmatrix}\psi_{0}\\ \psi_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)}=\psi_{0}\left|0\right\rangle+\psi_{1}\left|1\right\rangle hebt en deze meet, krijg je ook maar één bit: je krijgt 0 of 11 met waarschijnlijkheid

p0=ψ02,p1=ψ12.p_{0}=\psi_{0}^{2},\qquad p_{1}=\psi_{1}^{2}. (2.6)

Het kwadraat is misschien verrassend, maar merk op dat p0+p1=ψ02+ψ12=1p_{0}+p_{1}=\psi_{0}^{2}+\psi_{1}^{2}=1. Het kwadraat is precies wat er voor zorgt dat (p0p1)\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)} een geldige kansverdeling is, dus de bovenstaande regel is best logisch! Na de meting is de qubit verdwenen en blijft er maar één bit over die de uitkomst van de meting bevat. Met andere woorden, het meetproces zet een qubit om in een gewone bit waarvan de waarde probabilistisch wordt bepaald door Vgl. 2.6:

(2.7)

Zoals je kunt zien in Vgl. 1.32 en 2.7, lijken de meetregels voor probabilistische bits en qubits sterk op elkaar. In beide gevallen is de oorspronkelijke toestand verdwenen en blijft alleen een enkele bit over, waarvan de waarde probabilistisch afhangt van de oorspronkelijke toestand die je gemeten hebt. (Als je de toestand meer dan één keer meet, krijg je altijd dezelfde uitkomst als de eerste keer – herhaalde metingen geven dus geen extra informatie over wat de oorspronkelijke toestand was). Het enige verschil is dat je voor qubits de amplitudes moet kwadrateren om de waarschijnlijkheden te krijgen, zoals in Vgl. 2.6, terwijl je voor probabilistische bits ze direct krijgt en dus niets hoeft te kwadrateren. Dit lijkt misschien een klein verschil, maar het heeft grote gevolgen voor de toegestane toestanden, omdat de amplitudes van een qubit negatief mogen zijn, terwijl de waarschijnlijkheden van een probabilistische bit altijd positief zijn (zie Fig. 2.2).

Er is eigenlijk een ander, wat subtieler verschil. Namelijk dat niemand de uitkomst van een quantum-meting van tevoren kan voorspellen. Dit is subtiel omdat je zou denken dat hetzelfde ook moet gelden voor probabilistische bits. Waarin zit het verschil? In het kort is het antwoord dat probabilistische bits willekeurig lijken door ons gebrek aan kennis over hun toestand, terwijl quantumbits willekeurig zijn zelfs als we alles weten over hun toestand. Stel bijvoorbeeld dat je vriend een zuiver muntje opgooit en het muntje meteen bedekt zodra het landt. Normaal gesproken zou je de toestand van zo’n muntje beschrijven als uniform willekeurig, zie Vgl. 1.29. Maar als je de munt filmt met een hogesnelheidscamera, kan je op basis van je beelden misschien nauwkeurig voorspellen op welke kant hij terechtkomt. In dit opzicht heeft de willekeur van probabilistische bits te maken met onze onwetendheid. Voor quantumbits ontstaat de willekeur daarentegen op een fundamenteler niveau. Ongeacht onze voorkennis is het in het algemeen onmogelijk de uitkomst van een quantum-meting perfect te voorspellen. Aan de andere kant betekent dit dat de uitkomsten van quantum-metingen gebruikt kunnen worden als een goede bron van willekeur!

Huiswerkopdracht 2.1 (Een willekeurige bit op een quantum manier maken).

Het probleem: Alice’s robot-ezel heeft weer te weinig stroom en moet zijn weg vinden naar een oplaadstation. Helaas zijn Eve’s hacking-vaardigheden deze keer verbeterd – ze heeft uitgevonden hoe ze de random-number-generator van de ezel kan hacken en herprogrammeren zodat die elke willekeurige getallenreeks genereert die zij wil! Gelukkig is Alice hiervan op de hoogte omdat Eve er onlangs over heeft lopen opscheppen op een hackerforum. Om Eve’s kwaadaardige plan tegen te gaan, heeft Alice besloten een miniatuur quantumcomputer met een enkele qubit in haar robot-ezel te installeren. Door gebruik te maken van de intrinsieke onvoorspelbaarheid van quantummeetresultaten, wil Alice uniform willekeurige bits genereren die Eve niet kan raden.

Vragen: Alice kan elke qubit-toestand |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle produceren en wil een uniform willekeurige bit genereren door dit te meten.

  1. 1.
    ​

    Wat is de kans op het meetresultaat 0 als je een meting van de toestand |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle uitvoert? Wat is de kans op het meetresultaat 11?

  2. 2.
    ​

    Alice wil een hoek θ\theta vinden zodat beide kansen gelijk zijn aan 1/21/2. Welke θ\theta moet ze kiezen? (Er kunnen meerdere mogelijkheden zijn!)

Hack.

When we apply U⁢(θ)U(\theta) to the state |0⟩\left|0\right\rangle, we obtain the following state:

U⁢(θ)⁢|0⟩=(cos⁡θsin⁡θ).U(\theta)\left|0\right\rangle=\begin{pmatrix}\cos\theta\\ \sin\theta\end{pmatrix}.

When we measure this state, then by Vgl. 2.6 the probability of measuring 0 is cos2⁡(θ)\cos^{2}(\theta) and similarly the probability of measuring 11 is sin2⁡(θ)\sin^{2}(\theta). We want these to be equal, hence:

cos2⁡(θ)=sin2⁡(θ),implyingcos⁡(θ)=±sin⁡(θ).\cos^{2}(\theta)=\sin^{2}(\theta),\quad\text{implying}\quad\cos(\theta)=\pm% \sin(\theta).

We can rewrite the right-hand side as follows:

±sin⁡(θ)=sin⁡(±θ)=cos⁡(−π2±θ)\pm\sin(\theta)=\sin(\pm\theta)=\cos\left(-\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)

Note that cos⁡α=cos⁡β\cos\alpha=\cos\beta implies that either α=β+2⁢k⁢π\alpha=\beta+2k\pi or α=−β+2⁢k⁢π\alpha=-\beta+2k\pi, for some integer kk. So, we find that all solutions can be written in the following form:

θ=−π2±θ+2⁢k⁢πorθ=π2±θ+2⁢k⁢π.\theta=-\frac{\pi}{2}\pm\theta+2k\pi\qquad\text{or}\qquad\theta=\frac{\pi}{2}% \pm\theta+2k\pi.

Choosing the sign to be “++” does not produce meaningful equations, hence we replace the “±\pm” with “−-” and merge the two cases to obtain the following concise form:

2⁢θ=π2+k⁢π.2\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi.

This reduces to:

θ=(14+k2)⁢π.\theta=\left(\frac{1}{4}+\frac{k}{2}\right)\pi.

Hence, there are 44 values of kk that yield a θ\theta in the interval [0,2⁢π)[0,2\pi), precisely:

θ=π4orθ=3⁢π4orθ=5⁢π4orθ=7⁢π4.\theta=\frac{\pi}{4}\qquad\text{or}\qquad\theta=\frac{3\pi}{4}\qquad\text{or}% \qquad\theta=\frac{5\pi}{4}\qquad\text{or}\qquad\theta=\frac{7\pi}{4}.