1.3 Een probabilistische bit meten

Als je een zuiver muntje opgooit en onmiddellijk afdekt, kan je niet weten aan welke kant het muntje terechtkwam. In dit geval wordt je kennis over de toestand van het muntje beschreven door de uniforme verdeling.

$$\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/01.png}}}=\begin{pmatrix}1/2\\ 1/2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\,[0]+\frac{1}{2}\,[1].$$ (1.29)

Maar als je je hand weghaalt en ’kop’ ziet, wordt je kennis geupdate naar

$$\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}=[0]$$ (1.30)

omdat je nu met zekerheid weet dat kop boven ligt. Het proces van het openleggen van een probabilistisch muntje om te bepalen welke kant boven ligt, noemen we een meting. ³³ 3 We hebben deze term overgenomen van quantumcomputing, waar we zullen zien dat er een vergelijkbare procedure bestaat.

Merk op uit Vgl. 1.29 en 1.30 dat de toestand van het muntje voor en na de meting anders is. Na de meting ben je namelijk niet meer onwetend over welke kant boven ligt. Stel nu dat je het muntje weer bedekt nadat je het net gemeten hebt. Wat is de toestand nu? Uiteraard nog steeds

$$\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}=[0]$$ (1.31)

omdat je al weet dat ’kop’ omhoog ligt. Sterker nog, als je het muntje opnieuw meet (bekijkt), zal je nog steeds ’kop’ zien. Op dezelfde manier, als je de eerste keer dat je een willekeurig muntje opmeet ’munt’ kreeg, zal je ’munt’ blijven krijgen, hoe vaak je het ook opnieuw opmeet.

In het algemeen, als je een probabilistische bit hebt die beschreven wordt door de verdeling $\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)}$, dan levert het meten ervan de uitkomst $0$ (of ’kop’) op met waarschijnlijkheid $p_{0}$ en $1$ (of ’munt’) met waarschijnlijkheid $p_{1}$:

De toestand van de probabilistische bit na de meting is niet meer $\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)}$, maar een van de basistoestanden $[0]=\bigl{(}\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\bigr{)}$ of $[1]=\bigl{(}\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\bigr{)}$, afhankelijk van het meetresultaat. Als je bijvoorbeeld de uitkomst $1$ (of ’munt’) krijgt, is de nieuwe toestand $[1]$. In het algemeen verandert een meting dus de toestand!

Een belangrijk kenmerk van metingen is dat je er niet de waarschijnlijkheden $p_{0}$ en $p_{1}$ uit kunt halen – het enige wat je als meetresultaat krijgt is een enkele bit $0$ of $1$. Bovendien is je oorspronkelijke probabilistische bit $\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)}$ verloren na de meting, dus je kunt het niet opnieuw meten. Dit is eigenlijk vrij intuïtief. Als we een muntje slechts één keer opgooien, krijgen we maar één willekeurig resultaat – maar uit dit ene resultaat alleen kunnen we niet bepalen of het muntje zuiver of partijdig was!

Maar stel dat we hetzelfde muntje nu een groot aantal keren opgooien. In dat geval zouden we verwachten dat de fractie van de keren dat we de uitkomst $1$ krijgen ongeveer $p_{1}$ is. Met andere woorden,

waarbij $N$ het totale aantal metingen is en $N_{1}$ het aantal keren dat we de uitkomst $1$ hebben gekregen. Hoe meer uitkomsten we verzamelen, hoe beter de benadering wordt.⁴⁴ 4 Maar hoe goed is deze schatting? Er kan worden aangetoond dat de fout gemiddeld van de orde van $1/\sqrt{N}$ is, en dus snel naar nul gaat als we het experiment vele malen herhalen.

Dit geeft ons een procedure voor het schatten van $p_{1}$. Omdat $p_{0}+p_{1}=1$ geeft dit uiteraard ook een schatting van $p_{0}$. Alice kan deze procedure bijvoorbeeld gebruiken om de waarschijnlijkheid te schatten dat haar partijdige muntje in 1.3 op en terechtkomt. Dit kan je nu zelf uitproberen.