1.1 Probabilistische bits

We gebruiken waarschijnlijkheden of kansen wanneer een proces meerdere mogelijke uitkomsten heeft, en we nog niet weten welke uitkomst zich daadwerkelijk voordoet. Een uitkomst die helemaal zeker is, heeft een waarschijnlijkheid van $1$ (ofwel 100%), terwijl een uitkomst die zich nooit voordoet een waarschijnlijkheid van $0$ heeft.

Als voorbeeld kunnen we denken aan het opgooien van een muntje. Als je een muntje opgooit en bedekt met je handen zonder ernaar te kijken, zijn er twee mogelijke uitkomsten – het muntje laat ’kop’ of ’munt’ zien. Bij een zuiver muntje hebben beide uitkomsten dezelfde waarschijnlijkheid, dus geven we aan beide een kans van $\frac{1}{2}=0.50$ of $50\%$ (dit wordt aangegeven met in Fig. 1.1). Maar het muntje kan een afwijking hebben, waardoor de kans groter is dat het op de ene kant valt dan op de andere. Afhankelijk van hoe partijdig het muntje is, kunnen we een heel spectrum van mogelijkheden voorstellen: een extreem partijdig muntje zou altijd op ’kop’ kunnen vallen, terwijl een ander altijd op ’munt’ zou kunnen vallen (zie en aan de linker- en rechterkant van Fig. 1.1). Het eerste muntje laat ’munt’ zien met waarschijnlijkheid $0$ (omdat het altijd op ’kop’ valt), terwijl het tweede muntje ’munt’ laat zien met een waarschijnlijkheid van $1$.

Omdat we ons geen zorgen willen maken over de vorm en het formaat van de muntjes, is het handig om de informatie van het opgooien van een muntje wat abstracter te maken. We kunnen dit doen door de uitkomsten ’kop’ en ’munt’ te associëren met de bitwaarden $0$ en $1$. Het opgooien van het muntje kan dan worden beschreven door een probabilistische bit die gelijk is aan $0$ met een bepaalde waarschijnlijkheid $p_{0}$ en gelijk aan $1$ met een bepaalde waarschijnlijkheid $p_{1}$, waarbij $p_{0},p_{1}\geq 0$ zijn en $p_{0}+p_{1}=1$. Als het muntje bijvoorbeeld zuiver is, is $p_{0}=p_{1}=\frac{1}{2}$, zoals hierboven is uitgelegd.

Is het je opgevallen dat het genoeg is om maar één van de waarschijnlijkheden $p_{0}$ of $p_{1}$ te geven, omdat je de ene uit de andere kunt halen? Voor de duidelijkheid geven we toch altijd beide aan en schrijven we ze op als een vector:

We noemen deze vector de kansverdeling of de toestand van de probabilistische bit. Deze vectornotatie is niet alleen een handige manier om alle waarschijnlijkheden te verzamelen in een mooie tabel, maar geeft ook een mooie geometrische manier om een probabilistische bit voor te stellen. Bovendien zal het ons helpen de gelijkenis te zien tussen probabilistische en quantumbits.

We noemen de toestanden die horen bij $0$ of ’kop’ en bij $1$ of ’munt’ deterministisch, omdat ze de toestand van het muntje volledig beschrijven (er is geen onduidelijkheid over welke kant boven ligt). In Vgl. 1.1 komen deze overeen met de kansverdelingen met respectievelijk $p_{0}=1$, $p_{1}=0$ en $p_{0}=0$, $p_{1}=1$. Aangezien we ze vaak zullen gebruiken, is het handig er een verkorte notatie voor in te voeren:

Deze notatie kan in eerste instantie verwarrend lijken, maar je kunt $[0]$ en $[1]$ ook zien als en of als $[\text{kop}]$ en $[\text{munt}]$.

Deze twee toestanden vormen een basis van alle toestanden, wat betekent dat we elke andere mogelijke toestand van een probabilistische bit kunnen uitdrukken als een lineaire combinatie van deze twee toestanden:

Je kunt nu alle mogelijke toestanden van een probabilistische bit voorstellen als een lijnstuk dat de punten $[0]$ en $[1]$ verbindt die overeenkomen met de twee deterministische toestanden (zie Fig. 1.2).