1.1.2 Waarschijnlijkheden optellen

We bekijken nu een ingewikkelder probleem, waarbij je de muntjes $a$ en $b$ opgooit. Wat is de waarschijnlijkheid dat beide muntjes dezelfde uitkomst hebben? Dit kan op twee manieren gebeuren: óf beide muntjes zijn ’kop’ óf beide muntjes zijn ’munt’. We weten al van Vgl. 1.14 dat de kansen op deze twee afzonderlijke uitkomsten

\displaystyle p_{00}=a_{0}b_{0},\qquad p_{11}=a_{1}b_{1}.

zijn. De waarschijnlijkheid dat één van deze twee uitkomsten zich voordoet, krijgen we dan door deze waarschijnlijkheden op te tellen:

p_{00}+p_{11}=a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}.

(1.15)

Je tel waarschijnlijkheden op wanneer je meerdere uitkomsten van hetzelfde experiment wilt combineren. Zulke gecombineerde uitkomsten kunnen meestal beschreven worden met het woord ’of’. Bijvoorbeeld: "Beide muntjes zijn ’kop’ of beide muntjes zijn ’munt’". Let op: dat mag alleen als de muntjes elkaar niet beïnvloeden!

Oefenopgave 1.3 (Waarschijnlijkheden optellen).

Bob verveelt zich ook tijdens de wiskundeles. Hij ziet dat Alice naar haar horloge zit te staren, dus hij kijkt ook op zijn eigen horloge. Verrassend genoeg geeft de seconde-teller 44 aan, wat Bob erg onwaarschijnlijk lijkt. Wat is de waarschijnlijkheid dat beide getallen van de seconde-teller hetzelfde zijn als Bob op een willekeurig moment binnen een minuut op zijn horloge kijkt?

Solution.

Er zijn zes mogelijke combinaties waarbij beide getallen hetzelfde zijn (van 00 tot 55). Elk van deze gevallen komt voor met een waarschijnlijkheid van

\frac{1}{60}

. We kunnen deze uitkomsten combineren tot één uitkomst waarvan de waarschijnlijkheid gelijk is aan de som van de waarschijnlijkheden van de zes aparte uitkomsten:

\underbrace{\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+% \frac{1}{60}}_{\text{$6$ termen}}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}.

Nu dat we hebben geleerd wanneer je waarschijnlijkheden moet optellen en vermenigvuldigen, kan je proberen je eerste huiswerkopdracht op te lossen!

Huiswerkopdracht 1.1 (Tegenovergestelde muntjes).

Alice gooit twee muntjes op, die we $a$ en $b$ noemen, met kansverdelingen

\displaystyle a=\begin{pmatrix}2/3\\ 1/3\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3/4\\ 1/4\end{pmatrix}.

Wat is de waarschijnlijkheid dat de twee muntjes tegenovergestelde uitkomsten krijgen?

Hack.

Similar to Vgl. 1.15, we need to compute $p_{10}+p_{01}$ . The probability is

\displaystyle p_{10}+p_{01}=a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}+% \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{5}{12}.