1.1.1 Vermenigvuldiging van waarschijnlijkheden

Als je twee muntjes opgooit, wat is dan de waarschijnlijkheid dat beide muntjes op ’kop’ vallen? Neem aan dat de twee muntjes beschreven worden door probabilistische bits

a=(a0a1)enb=(b0b1),\displaystyle a=\begin{pmatrix}a_{0}\\ a_{1}\end{pmatrix}\qquad\text{en}\quad b=\begin{pmatrix}b_{0}\\ b_{1}\end{pmatrix}, (1.12)

waarbij de uitkomst 0 overeenkomt met ’kop’ en de uitkomst 1 met ’munt’. Dan is voor muntje aa de waarschijnlijkheid van ’kop’ a0a_{0} en voor muntje bb is het b0b_{0}. (We nemen niet aan dat de muntjes zuiver zijn, dus deze waarschijnlijkheden zijn niet per se 50%.) De waarschijnlijkheid dat beide muntjes ’kop’ tonen wordt gegeven door de waarschijnlijkheden van de twee afzonderlijke uitkomsten te vermenigvuldigen:

p00=a0⁢b0.p_{00}=a_{0}b_{0}. (1.13)

Merk op dat p00≤a0p_{00}\leq a_{0} en p00≤b0p_{00}\leq b_{0}, aangezien a0≤1a_{0}\leq 1 en b0≤1b_{0}\leq 1. Dit is logisch, want het is niet waarschijnlijker (en meestal minder waarschijnlijk) om bij beide muntjes kop te krijgen dan het is bij elk muntje afzonderlijk. Je kan op dezelfde manier de waarschijnlijkheden berekenen van alle andere combinaties van kop en munt. We kunnen alle vier mogelijkheden hiervan samenvatten in de volgende tabel:

p00\displaystyle p_{00} =a0⁢b0,p01=a0⁢b1,\displaystyle=a_{0}b_{0},\qquad p_{01}=a_{0}b_{1}, (1.14)
p10\displaystyle p_{10} =a1⁢b0,p11=a1⁢b1.\displaystyle=a_{1}b_{0},\qquad p_{11}=a_{1}b_{1}.

We noemen twee uitkomsten onafhankelijk als ze van twee verschillende bronnen komen en het voordoen van de ene uitkomst niets zegt over het voordoen van de andere. Meestal wordt zo’n situatie beschreven met het woord ’en’. Bijvoorbeeld: "Het eerste muntje is ’kop’ en het tweede muntje is ’munt’". We vermenigvuldigen waarschijnlijkheden als we willen weten of twee onafhankelijke uitkomsten tegelijk hebben plaatsgevonden.

Oefenopgave 1.2 (Waarschijnlijkheden vermenigvuldigen).

Alice verveelt zich tijdens haar wiskundeles en begint op haar digitale horloge te kijken. De seconde-teller op haar horloge kan waarden weergeven van 00 tot 59. Stel dat Alice op een willekeurig moment in de komende minuut naar de seconde-teller op haar horloge kijkt.

  1. 1.
    ​

    Wat is de waarschijnlijkheid dat ze 00 ziet?

  2. 2.
    ​

    Wat is de waarschijnlijkheid dat het laatste getal 0 is?

  3. 3.
    ​

    Wat is de waarschijnlijkheid dat het eerste getal 0 is?

  4. 4.
    ​

    Leg uit dat de waarden van beide getallen onafhankelijk van elkaar zijn. Controleer je antwoord op vraag 1 door de waarschijnlijkheden uit de vragen 2 en 3 te vermenigvuldigen.

Solution.
  1. 1.
    ​

    De teller kan op 6060 verschillende getallen staan. De waarschijnlijkheid van een van die waardes is 160\frac{1}{60}.

  2. 2.
    ​

    Het laatste getal kan 1010 verschillende waardes hebben. De waarschijnlijkheid van het zien van een van die waardes is 110\frac{1}{10}.

  3. 3.
    ​

    Het eerste getal kan maar 66 verschillende waardes hebben. De waarschijnlijkheid om daar één van te zien is dus 16\frac{1}{6}.

  4. 4.
    ​

    Als je alleen het eerste getal ziet, kan het laatste getal met een gelijke waarschijnlijkheid elk van de 1010 mogelijke waardes hebben. En als je alleen het laatste getal ziet, kan het eerste getal met gelijke waarschijnlijkheid elk van de 66 mogelijke waardes hebben. De waardes van de twee getallen zijn dus onafhankelijk. Je kan controleren dat de waarschijnlijkheid om 00 te krijgen inderdaad 160\frac{1}{60} is door de waarschijnlijkheid dat elk getal nul is te vermenigvuldigen:

    16⋅110=160.\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{10}=\frac{1}{60}.