1.2 Bewerkingen op een probabilistische bit

Nu dat we informatiebits hebben beschreven als vectoren, kunnen we bewerkingen op deze bits beschrijven door lineaire transformaties, waarbij we hulpmiddelen uit de lineaire algebra kunnen gebruiken. Denk bijvoorbeeld aan de bewerking waarbij ’kop’ en ’munt’ van een ezelsmuntje worden verwisseld:

We noemen deze bewerking $\mathrm{NOT}$ en schrijven het wiskundig zo op:

\mathrm{NOT}\;\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}=\vbox{% \hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/1.png}}},\qquad\mathrm{NOT}\;\vbox{% \hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/1.png}}}=\vbox{\hbox{% \includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}.

,NOT⁢

.\mathrm{NOT}\;\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}=\vbox{% \hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/1.png}}},\qquad\mathrm{NOT}\;\vbox{% \hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/1.png}}}=\vbox{\hbox{% \includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}. (1.16)

Als we de notatie van Vgl. 1.6 gebruiken, kunnen we dit ook schrijven als

\mathrm{NOT}\,[0]=[1],\qquad\mathrm{NOT}\,[1]=[0].

(1.17)

Merk op dat we $\mathrm{NOT}\,p$ schrijven als afkorting van $\mathrm{NOT}(p)$ – beide betekenen gewoon dat de operatie $\mathrm{NOT}$ wordt toegepast op een vector $p$ .¹¹ 1 We kunnen ook $\mathrm{NOT}\cdot p$ gebruiken, omdat deze bewerking overeenkomt met een matrix-vector-vermenigvuldiging. We zullen bewerkingen meestal met hoofdletters schrijven om ze te kunnen onderscheiden van getallen en vectoren.

Kijk nu even terug naar Vgl. 1.6, waarin staat dat de vectoren $[0]$ en $[1]$ staan voor de deterministische toestanden $0$ en $1$ van een probabilistische bit. Omdat de NOT-bewerking deze twee vectoren verwisselt, wordt de waarde van de bit omgewisseld. Dit is precies waarom we het ’NOT’ hebben genoemd – het staat voor de logische ontkenning! Een eenvoudige toepassing van $\mathrm{NOT}$ is het invoeren van gegevens in je computer. Als alle bits van je computer in het begin op $0$ staan, kun je er een paar veranderen in $1$ om gegevens in te voeren – dit is vaak de eerste stap van een berekening.

Hoe kunnen we nu de NOT-bewerking op een probabilistische bit $p=\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)}$ definiëren? Met een waarschijnlijkheid van $p_{0}$ is de bit nul en wordt hij dus omgezet in een één. Met een waarschijnlijkheid van $p_{1}$ is de bit een één en wordt deze dus omgezet in een nul. Het effect van de NOT-bewerking op een probabilistische bit is dus simpelweg

\displaystyle\mathrm{NOT}\begin{pmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{1}\\ p_{0}\end{pmatrix}.

(1.22)

Dit geeft precies het resultaat van Vgl. 1.17 als $p_{0}=1$ (en $p_{1}=0$ ) of $p_{0}=0$ (en $p_{1}=1$ ). De NOT-bewerking en Vgl. 1.22 kun je intuïtief als volgt zien: als je je een probabilistische bit voorstelt als een muntje dat je hebt opgegooid maar nog niet naar hebt gekeken, dan komt de NOT-bewerking overeen met het omdraaien van het muntje (wederom zonder ernaar te kijken).

Oefenopgave 1.4 (De NOT-bewerking visualiseren).

Zoals we in Fig. 1.2 hebben gezien, komen alle mogelijke toestanden van een probabilistische bit overeen met een lijnstuk. Laten we ons nu proberen voor te stellen hoe de $\mathrm{NOT}$ -bewerking dit lijnstuk omvormt.

1.

Bekijk een arbitrair²² 2 Met ‘arbitrair’ bedoelen we dat je berekening moet werken voor elke waarde van $p_{0}$ and $p_{1}$ ! Het is verstandig om verder te rekenen met deze symbolen zonder ze in te vullen: behandel ze als een variabele, of een nog onbekend getal. punt met coördinaten $(p_{0},p_{1})$ op dit lijnstuk. Waar wordt dit punt door de $\mathrm{NOT}$ -bewerking op afgebeeld?
2.

Waar worden de twee eindpunten van het lijnstuk op afgebeeld?
3.

Is er een punt op het lijnstuk dat op zichzelf wordt afgebeeld?

Solution.

1.

Merk op dat volgens Vgl. 1.22 het punt $(p_{0},p_{1})$ wordt afgebeeld op $(p_{1},p_{0})$ . Met andere woorden, de twee coördinaten van het punt worden omgewisseld. Hier is een voorbeeld van hoe dat eruit ziet:

Je kan de $NOT$ -bewerking dus voor je zien als een spiegeling om de stippellijn die precies tussen het midden van de assen loopt.
2.

Volgens Vgl. 1.6 komen de twee eindpunten $(1,0)$ en $(0,1)$ van het lijnstuk overeen met de twee deterministische toestanden $[0]$ en $[1]$ . In Vgl. 1.17 hebben we gezien dat de $\mathrm{NOT}$ -bewerking deze omwisselt.
3.

Een punt met coördinaten $(p_{0},p_{1})$ blijft na de $\mathrm{NOT}$ -bewerking hetzelfde als $(p_{0},p_{1})=(p_{1},p_{0})$ , wat betekent dat $p_{0}=p_{1}$ . Omdat $p_{0}+p_{1}=1$ , betekent dit dat $p_{0}=p_{1}=1/2$ wat overeenkomt met het punt $(1/2,1/2)$ . Dit is het enige punt dat op dezelfde plek blijft liggen.