1.2.1 Uitbreiden door lineariteit

Hoe moeten we M⁢(p0p1)M\,\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)} definiëren als MM een willekeurige bewerking van een bit is? Zoals voorheen nemen we aan dat we het effect van MM op de twee mogelijke waarden van de bit al kennen, en schrijven we M⁢[0]M\,[0] op voor het resultaat van de bewerking als de bit nul is, en M⁢[1]M\,[1] voor het resultaat van de bewerking als de bit één is. (Voor de NOT operatie was dit precies wat we deden in Vgl. 1.17). Laten we nu proberen dezelfde redenering als hierboven toe te passen. Met een waarschijnlijkheid van p0p_{0} is de bit nul en krijgen we dus M⁢[0]M\,[0] door de bewerking MM toe te passen. Met waarschijnlijkheid p1p_{1} is de bit één en krijgen we in plaats daarvan M⁢[1]M\,[1]. Bij elkaar zien we dat we M⁢(p0p1)M\,\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)} zouden moeten definiëren als

M⁢(p0p1)=p0⁢M⁢[0]+p1⁢M⁢[1],\displaystyle M\begin{pmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{pmatrix}=p_{0}\,M\,[0]+p_{1}\,M\,[1], (1.25)

waarbij p0⁢M⁢[0]p_{0}\,M\,[0] aangeeft dat we de vector M⁢[0]M\,[0] vermenigvuldigen met de waarschijnlijkheid p0p_{0}.

Oefenopgave 1.5 (NOT op probabilistische bits).

Laat zien dat als MM de NOT-bewerking is, Vgl. 1.25 precies op Vgl. 1.22 uitkomt.

Solution. We gebruiken Vgl. 1.25 en 1.17,
NOT⁢(p0p1)=p0⁢NOT⁢(10)+p1⁢NOT⁢(01)=p0⁢(01)+p1⁢(10)=(p1p0),\displaystyle\mathrm{NOT}\begin{pmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{pmatrix}=p_{0}\,\mathrm{NOT}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}+p_{1}\,\mathrm{NOT}\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}=p_{0}\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}+p_{1}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{1}\\ p_{0}\end{pmatrix},
wat hetzelfde is als Vgl. 1.22.

Door gebruik te maken van Vgl. 1.7 kunnen we Vgl. 1.25 ook als volgt schrijven:

M⁢(p0⁢[0]+p1⁢[1])=p0⁢M⁢[0]+p1⁢M⁢[1].M\Big{\lparen}p_{0}\,[0]+p_{1}\,[1]\Big{\rparen}=p_{0}\,M\,[0]+p_{1}\,M\,[1]. (1.26)

Merk op dat het onderscheid tussen de twee kanten zit in de volgorde van de bewerkingen: aan de linkerkant nemen we eerst een lineaire combinatie en dan passen we MM toe, terwijl we aan de rechterkant eerst MM toepassen en dan pas de lineaire combinatie nemen. Deze vergelijking ziet er erg uit als de bekende regel a⁢(b+c)=a⁢b+a⁢ca(b+c)=ab+ac voor getallen (de ’distributieve wet’).

Als MM een bewerking van probabilistische bits is die voldoet aan Vgl. 1.26, dan zeggen we dat MM lineair is. Onze regel uit Vgl. 1.25 en 1.26 voor het uitbreiden van MM van bits naar probabilistische bits noemen we uitbreiden door lineariteit. Hetzelfde concept zullen we vaak ook gebruiken voor quantumbits.