2.5 Quantumtoestanden onderscheiden

Alice kijkt naar een hardloopwedstrijd voor robot-ezels, en noteert of haar favoriete ezel wint: een $1$ als dit wel het geval is, en een $0$ als dit niet het geval is. Ze zou de uitslag ook in een qubit kunnen coderen: in het meest algemene geval maakt ze een toestand $\left|\psi(\theta_{0})\right\rangle$ in de situatie $0$ (geen winst), en een toestand $\left|\psi(\theta_{1})\right\rangle$ in de situatie $1$ (wel winst). Hierbij zijn $\theta_{0}$ en $\theta_{1}$ arbitraire hoeken (waarmee we dus elke mogelijke combinatie van toestanden bekijken). Alice kan deze toestanden maken door simpelweg $U(\theta_{0})$ of $U(\theta_{1})$ toe te passen op $\left|0\right\rangle$ , zie Vgl. 2.27. Stel nu dat Alice het resulterende qubit aan Bob geeft. Kan Bob dan raden welke bitwaarde ( $1$ of $0$ ) Alice heeft gecodeerd, met alleen de informatie die in de qubit zit? Heeft het wellicht zin om eerst een rotatie of spiegeling te doen, voordat Bob de qubit meet? We kunnen dit oefenen in de volgende opgave.

Oefenopgave 2.6 (Plus en min).

Stel je voor dat je een qubit krijgt die in één van de volgende twee toestanden zit:

\left|+\right\rangle=\frac{\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle}{\sqrt{2}% },\qquad\left|-\right\rangle=\frac{\left|0\right\rangle-\left|1\right\rangle}{% \sqrt{2}}.

Je wilt raden welke toestand je gekregen hebt. Je kunt een rotatie toepassen en dan meten. Welke rotatie moet je hier toepassen en met welke waarschijnlijkheid kan je dan de juiste toestand raden?

Solution.

Pas

U(-\pi/4)

toe en voer een meting uit. Je kunt nu de toestand met zekerheid raden!

Als je verschillende (bit)waarden wilt weergeven door verschillende quantumtoestanden, moet je oppassen dat je niet $\left|\psi(\theta)\right\rangle$ en $\left|\psi(\theta+\pi)\right\rangle$ gebruikt, want deze toestanden zijn niet van elkaar te onderscheiden.

Oefenopgave 2.7 (Niet-onderscheidbare toestanden).

Laat zien dat de twee toestanden $\left|\psi(\theta)\right\rangle$ en $\left|\psi(\theta+\pi)\right\rangle=-\left|\psi(\theta)\right\rangle$ op geen enkele manier te onderscheiden zijn. Met andere woorden, het maakt niet uit welke qubitbewerking je uitvoert, als je vervolgens de verkregen toestand meet, zullen de meetresultaten in beide gevallen altijd dezelfde waarschijnlijkheid hebben.

Solution.

We zagen hierboven dat elke combinatie

M

van rotaties en spiegelingen lineair is. Dus als

M\left|\psi(\theta)\right\rangle=\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle=% \bigl{(}\begin{smallmatrix}\cos\theta^{\prime}\\ \sin\theta^{\prime}\end{smallmatrix}\bigr{)}

, dan is

M\big{\lparen}-\left|\psi(\theta)\right\rangle\big{\rparen}=-\left|\psi(\theta% ^{\prime})\right\rangle=\bigl{(}\begin{smallmatrix}-\cos\theta^{\prime}\\ -\sin\theta^{\prime}\end{smallmatrix}\bigr{)}

. Volgens Vgl. 2.6 zijn de kansen

p_{0}

p_{1}

op meetresultaten voor beide toestanden gelijk.

Het is best interessant om 2.6 en 2.7 met elkaar te vergelijken. Als twee toestanden van elkaar verschillen door een algemeen minteken, zijn ze niet te onderscheiden, zoals in 2.7. Praktisch gezien beschrijven de twee vectoren $\pm\left|\psi(\theta)\right\rangle$ dezelfde toestand. Daarentegen zijn ’relatieve’ mintekens zoals in 2.6 belangrijk en kunnen ze zelfs leiden tot toestanden die perfect te onderscheiden zijn!

In de volgende huiswerkopdracht ga je na wat de optimale manier is om twee arbitraire quantumtoestanden te onderscheiden.

Huiswerkopdracht 2.5 (Twee toestanden onderscheiden.).

Laat $\theta,\theta^{\prime}$ twee hoeken zijn. Neem voor het gemak aan dat $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\theta^{\prime}\leq\frac{\pi}{2}$ . Stel dat Eve je een enkele qubit geeft, die of in de toestand $\left|\psi(\theta)\right\rangle$ of in de toestand $\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle$ zit, met voor beide een 50% kans. (Ze kan bijvoorbeeld een zuiver muntje opgooien om te beslissen welke van de twee toestanden ze aan je geeft). Jouw taak is om te bepalen welke van de twee toestanden je hebt gekregen. Met een aantal stappen ga je een optimale procedure vinden:

1.

Pas eerst een rotatie $U(\phi)$ toe met een bepaalde hoek $\phi$ . Welke twee mogelijke toestanden krijg je dan?
2.

Meet vervolgens de qubit en interpreteer het resultaat als volgt: Als de uitkomst 0 is, dan raad je dat je de toestand $\left|\psi(\theta)\right\rangle$ hebt gekregen, anders raad je $\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle$ . Wat is de waarschijnlijkheid dat je de toestand die je hebt gekregen juist hebt geïdentificeerd? Stel dit op in een formule in termen van $\theta$ , $\theta^{\prime}$ en $\phi$ .

Hint: Bereken eerst de kans van slagen ervan uitgaande dat je de eerste toestand hebt gekregen, dan de kans van slagen ervan uitgaande dat je de tweede toestand hebt gekregen, en bedenk dat je in werkelijkheid één van de twee toestanden krijgt met voor elk eem 50% kans.
3.

Je hebt nog steeds de mogelijkheid om de rotatiehoek $\phi$ op een slimme manier te kiezen. Wat is de kans van slagen als functie van $\theta$ en $\theta^{\prime}$ als je $\phi$ optimaal kiest?

Hint: Je kan de goniometrische identiteiten van Vgl. 2.30 gebruiken. Hiermee kun je laten zien dat

$\sin^{2}\alpha=\frac{1}{2}\big{\lparen}1-\cos(2\alpha)\big{\rparen},\qquad\cos% ^{2}\alpha=\frac{1}{2}\big{\lparen}1+\cos(2\alpha)\big{\rparen}.$ (2.36)

Als je vastloopt, kan je Wolfram Alpha gebruiken.

Hack.

1.

If we started out in the state $\left|\psi(\theta)\right\rangle$ then we obtain the following state after rotating:

$U(\phi)\left|\psi(\theta)\right\rangle=\left|\psi(\theta+\phi)\right\rangle=% \begin{pmatrix}\cos(\theta+\phi)\\ \sin(\theta+\phi)\end{pmatrix}.$

If instead the state $\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle$ was handed to us then we obtain the following state:

$U(\phi)\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle=\left|\psi(\theta^{\prime}+% \phi)\right\rangle=\begin{pmatrix}\cos(\theta^{\prime}+\phi)\\ \sin(\theta^{\prime}+\phi)\end{pmatrix}.$
2.

First of all, we calculate the probability that we guess correctly if we are handed the state $\left|\psi(\theta)\right\rangle$ . In this case, the probability of indeed measuring $0$ is given by:

$\cos^{2}(\theta+\phi).$

Similarly, the probability of guessing $1$ when starting out with state $\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle$ is given by:

$\sin^{2}(\theta^{\prime}+\phi).$

As both initial states are given with equal probability, the total success probability is the average of these two success probabilities:

$\frac{1}{2}\left(\cos^{2}(\theta+\phi)+\sin^{2}(\theta^{\prime}+\phi)\right).$

We want to find the value of $\phi$ that maximizes the above expression. To that end, we rewrite it using some trigonometric identities:

	$\displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos^{2}(\theta+\phi)+\sin^{2}(\theta^{\prime}+% \phi)\right)$	$\displaystyle=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cos(2(\theta+\phi))+\frac{1}{4}-\frac{1}% {4}\cos(2(\theta^{\prime}+\phi))$
		$\displaystyle=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sin(\theta+\theta^{\prime}+2\phi)\sin(% \theta^{\prime}-\theta),$

where the second line follows from $\frac{1}{2}(\cos(2\alpha)-\cos(2\beta))=\sin(\beta+\alpha)\sin(\beta-\alpha)$ . Note that $\sin(\theta^{\prime}-\theta)\geq 0$ , since $\theta^{\prime}>\theta$ and both angles are in the interval $[-\pi/2,\pi/2]$ . Hence, the maximum is attained when $\theta+\theta^{\prime}+2\phi=\pi/2$ , which yields:

\phi=\frac{\pi}{4}-\frac{\theta+\theta^{\prime}}{2}.

The success probability is therefore

\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sin(\pi/2)\sin(\theta^{\prime}-\theta)=\frac{1}{2}+% \frac{1}{2}\sin(\theta^{\prime}-\theta).

If you are interested, here is some intuitive explanation of how this procedure works: The rotation $M=U(\pi/4-(\theta+\theta^{\prime})/2)$ rotates the state $\left|\psi(\frac{\theta+\theta^{\prime}}{2})\right\rangle$ whose angle is the average of the two angles to the state $\left|\psi(\pi/4)\right\rangle$ , since

U\left\lparen\frac{\pi}{4}-\frac{\theta+\theta^{\prime}}{2}\right\rparen\left|% \psi\left\lparen\frac{\theta+\theta^{\prime}}{2}\right\rparen\right\rangle=% \left|\psi\left\lparen\frac{\theta+\theta^{\prime}}{2}+\frac{\pi}{4}-\frac{% \theta+\theta^{\prime}}{2}\right\rparen\right\rangle=\left|\psi(\pi/4)\right\rangle.

As a result, the state $\psi(\theta^{\prime})$ is rotated as close as possible to $\left|1\right\rangle$ while $\psi(\theta)$ is simultaneously rotated as close as possible to $\left|0\right\rangle$ , see the illustration below:

Now let us examine the probability that this procedure succeeds, which was $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sin(\theta^{\prime}-\theta)$ . In the extreme scenario that $\theta^{\prime}-\theta=0$ , the success probability is $1/2$ . This makes sense, since the two states are equal and hence we cannot do better than guessing randomly. Actually, if $\theta^{\prime}-\theta=\pi$ , then the success probability is also $1/2$ . This can be understood since then $\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle=-\left|\psi(\theta)\right\rangle$ . Since this global minus sign is undetectable by any measurement, we can also not do better than guessing. On the other hand, if $\theta^{\prime}-\theta=\pi/2$ , then the success probability is $1$ , which also makes sense. We simply rotate the states until they coincide with $\left|0\right\rangle$ and $\left|1\right\rangle$ , and then we measure. We see that for all other values of $\theta^{\prime}-\theta$ , the probability of making a correct guess increases as $\theta-\theta^{\prime}$ gets closer to $\pi/2$ . Hence, the closer the states $\left|\psi(\theta)\right\rangle$ and $\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle$ are to being orthogonal, the higher the probability with which you can distinguish them! (Can you see this from the above figure?)

Oefenopgave 2.8 (Gebroken been en arm (uitdagend)).

Het probleem Alice en Bob verkennen graag de wildernis rond hun dorp. Hiervoor hebben ze twee grote gorillarobots gebouwd die door ruw terrein kunnen navigeren terwijl ze Alice en Bob comfortabel op hun rug dragen. Maar dit is geen goede dag voor Bob, zijn robot valt per ongeluk van een klif! Gelukkig overleeft Bob de val met alleen wat blauwe plekken, maar zijn robot raakt behoorlijk beschadigd: een arm, een been, en zijn communicatie-apparaat zijn allemaal gebroken. Bob heeft geen reserveonderdelen voor de benen en armen, maar het lukt hem tenminste om zijn communicatie-apparaat voor even te repareren. Helaas kan het maar één bit of één qubit versturen voor het weer stopt met werken. Bob wil Alice laten weten welk been (links of rechts) en welke arm (ook links of rechts) van zijn robot gebroken is, zodat zij het bijbehorende ledemaat van haar robot kan halen en naar hem toe kan sturen. Alice kan hem maar één ledemaat sturen (been of arm) omdat beide robots terug naar huis moeten kunnen lopen (wat ze nog steeds kunnen met drie ledematen). De situatie wordt nog ingewikkelder omdat Alice niet al het benodigde gereedschap heeft om elk willekeurig ledemaat van haar robot af te halen. Bob herinnert zich dat Alice óf het gereedschap voor benen óf dat voor armen (en niet beide) heeft meegenomen, maar hij kan zich niet herinneren welk gereedschap.

Er zijn vier mogelijke combinaties van welk been en welke arm van Bob’s robot zijn gebroken – je kunt aannemen dat elk daarvan met kans $1/4$ is gebeurd. Ook zijn er twee soorten ledematen die Alice van haar robot kan verwijderen (ze heeft gereedschap voor het verwijderen van benen of armen) en je kunt aannemen dat ze voor elk het juiste gereedschap heeft genomen met kans $1/2$ .

Vragen:

1.

Als Bob maar één bit naar Alice kan sturen, hoe moet hij dan beslissen welke waarde die heeft, afhankelijk van op welke van de vier manieren zijn robot is gebroken? Hoe moet Alice zijn boodschap interpreteren en beslissen of ze het linker- of rechterbeen stuurt? (Bedenk dat Alice alleen benen of alleen armen kan sturen, en Bob niet weet of het benen of armen zijn). Als ze beiden een optimale strategie gebruiken, met welke waarschijnlijkheid zal Alice dan Bob’s boodschap juist interpreteren en het juiste ledemaat voor zijn robot sturen?
2.

Wat als Bob in plaats hiervan een quantumbit kan sturen? Afhankelijk van zijn situatie kan hij één van vier toestanden kiezen en Alice kan, afhankelijk van haar situatie, één van twee rotaties toepassen voordat zij het meet. Wat is hun optimale gezamenlijke strategie en wat is de kans van slagen?

Je kan ervan uitgaan dat Alice en Bob weten hoe ze elkaars berichten moeten interpreteren, aangezien ze van tevoren hebben besproken wat ze moeten doen als deze specifieke noodsituatie zich ooit voordoet.

Solution.

In een ideale situatie zou Bob 2 bits willen sturen die aangeven welk been en welke arm gebroken is. Voor Alice is maar één van deze bits van belang, omdat zij maar één soort gereedschap bij zich heeft.

1.

We duiden de twee mogelijke waarden van elke bit aan met $L$ (links) en $R$ (rechts). Een strategie die Bob kan gebruiken is om de "meerderheid"van zijn twee bits te verzenden. Hij kan dan namelijk de volgende codering gebruiken: $LL\mapsto L$ , $RR\mapsto R$ . De overige twee gevallen kan hij willekeurig coderen, bijvoorbeeld $LR\mapsto L$ , $RL\mapsto R$ . De strategie van Alice is simpelweg het versturen van de ledemaat die overeenkomt met de boodschap van Bob (de linker-ledemaat als zij $L$ ontvangt en de rechter-ledemaat als zij $R$ ontvangt). Dit werkt met waarschijnlijkheid

$\frac{1}{4}\left\lparen 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right\rparen=\frac{3}{4}=0% .75,$ (2.37)

waarbij de vier termen tussen haakjes de kansen zijn dat Alice de juiste beslissing neemt voor elk van de vier situaties van Bob.

Bob kan de volgende qubit-toestand verzenden, afhankelijk van welke ledematen gebroken zijn (d.w.z. LL betekent linkerbeen en linkerarm, LR betekent linkerbeen en rechterarm, enz.)

	$\displaystyle\left\|LL\right\rangle$	$\displaystyle=\cos(\pi/8)\left\|0\right\rangle-\sin(\pi/8)\left\|1\right\rangle$
	$\displaystyle\left\|LR\right\rangle$	$\displaystyle=\cos(\pi/8)\left\|0\right\rangle+\sin(\pi/8)\left\|1\right\rangle$
	$\displaystyle\left\|RR\right\rangle$	$\displaystyle=\cos(3\pi/8)\left\|0\right\rangle+\sin(3\pi/8)\left\|1\right\rangle$
	$\displaystyle\left\|RL\right\rangle$	$\displaystyle=\cos(3\pi/8)\left\|0\right\rangle-\sin(3\pi/8)\left\|1\right\rangle$

Om de bit van het been te vinden, doet Alice gewoon een meting. Om de bit van de arm te vinden, past Alice $U(\pi/4)$ toe en meet dan. (Merk op dat ze niet beide bits kan krijgen omdat de oorspronkelijke toestand niet meer bestaat na de meting). Ze zal dan slagen met waarschijnlijkheid $\cos^{2}(\pi/8)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0.85$ . Dit is beter dan in het eerste scenario!

	$\displaystyle\left\|LL\right\rangle$	$\displaystyle=\cos(\pi/8)\left\|0\right\rangle-\sin(\pi/8)\left\|1\right\rangle$
	$\displaystyle\left\|LR\right\rangle$	$\displaystyle=\cos(\pi/8)\left\|0\right\rangle+\sin(\pi/8)\left\|1\right\rangle$
	$\displaystyle\left\|RR\right\rangle$	$\displaystyle=\cos(3\pi/8)\left\|0\right\rangle+\sin(3\pi/8)\left\|1\right\rangle$
	$\displaystyle\left\|RL\right\rangle$	$\displaystyle=\cos(3\pi/8)\left\|0\right\rangle-\sin(3\pi/8)\left\|1\right\rangle$