2.4.3 Spiegelingen

Elke qubitbewerking is of een rotatie of een spiegeling. We zijn al bekend met de meest algemene rotatie, U⁢(θ)U(\theta), gedefinieerd in Vgl. 2.27. Wat betreft spiegelingen zijn we er tot nu toe maar twee tegengekomen: ZZ en NOT\mathrm{NOT}, zie Vgl. 2.26 en 2.25. Maar hoe ziet de meest algemene spiegeling eruit?

Eén manier om een arbitraire spiegeling te krijgen is door een vaste spiegeling te nemen (bijvoorbeeld de NOT\mathrm{NOT}-spiegeling) en deze samen te stellen met geschikte rotaties zodat de as van de spiegeling met de juiste hoeveelheid wordt aangepast. In de volgende opdracht ga je laten zien hoe je op twee verschillende manieren de spiegeling ZZ kan krijgen uit de NOT\mathrm{NOT}-spiegeling.

Huiswerkopdracht 2.4 (Z vanuit NOT\mathrm{NOT}).

Laat ZZ, NOT\mathrm{NOT} en U⁢(θ)U(\theta) de qubitbewerkingen zijn zoals gedefinieerd in Vgl. 2.26, 2.25 en 2.27.

  1. 1.
    ​

    Vind een hoek θ\theta, zodat Z=U⁢(θ)⁢NOT⁢U⁢(−θ)Z=U(\theta)\,\mathrm{NOT}\,U(-\theta).

  2. 2.
    ​

    Vind een hoek θ\theta, zodat Z=NOT⁢U⁢(θ)Z=\mathrm{NOT}\,U(\theta).

Kan je deze twee reeksen transformaties op de cirkel visualiseren?

Hint: Kijk terug naar Fig. 2.4 en de figuur die je voor Huiswerkopdracht 2.2 hebt getekend.

Hack.
  1. 1.
    ​

    Choose θ=−π/4\theta=-\pi/4. We check that the resulting operation U⁢(−π/4)⁢NOT⁢U⁢(π/4)U(-\pi/4)\,\mathrm{NOT}\,U(\pi/4) is the same as ZZ by checking that it acts the same on the states |0⟩\left|0\right\rangle and |1⟩\left|1\right\rangle:

    U⁢(−π4)⁢NOT⁢U⁢(π4)⁢|0⟩\displaystyle U\left\lparen-\frac{\pi}{4}\right\rparen\,\mathrm{NOT}\,U\left% \lparen\frac{\pi}{4}\right\rparen\left|0\right\rangle =U⁢(−π4)⁢NOT⁢|+⟩=U⁢(−π4)⁢|+⟩=|0⟩,\displaystyle=U\left\lparen-\frac{\pi}{4}\right\rparen\,\mathrm{NOT}\,\left|+% \right\rangle=U\left\lparen-\frac{\pi}{4}\right\rparen\left|+\right\rangle=% \left|0\right\rangle,
    U⁢(−π4)⁢NOT⁢U⁢(π4)⁢|1⟩\displaystyle U\left\lparen-\frac{\pi}{4}\right\rparen\,\mathrm{NOT}\,U\left% \lparen\frac{\pi}{4}\right\rparen\left|1\right\rangle =−U⁢(−π4)⁢NOT⁢|−⟩=U⁢(−π4)⁢|−⟩=−|1⟩.\displaystyle=-U\left\lparen-\frac{\pi}{4}\right\rparen\,\mathrm{NOT}\,\left|-% \right\rangle=U\left\lparen-\frac{\pi}{4}\right\rparen\left|-\right\rangle=-% \left|1\right\rangle.

    By linearity, this implies that the operation acts exactly the same on all states.

  2. 2.
    ​

    Choose θ=π/2\theta=\pi/2. Then

    NOT⁢U⁢(π2)⁢|0⟩\displaystyle\mathrm{NOT}\,U\left\lparen\frac{\pi}{2}\right\rparen\left|0\right\rangle =NOT⁢|1⟩=|0⟩,\displaystyle=\mathrm{NOT}\,\left|1\right\rangle=\left|0\right\rangle,
    NOT⁢U⁢(π2)⁢|1⟩\displaystyle\mathrm{NOT}\,U\left\lparen\frac{\pi}{2}\right\rparen\left|1\right\rangle =−NOT⁢|0⟩=−|1⟩.\displaystyle=-\mathrm{NOT}\,\left|0\right\rangle=-\left|1\right\rangle.

Het blijkt dat je elke spiegeling kunt verkrijgen met een vergelijkbare truc. De meest algemene spiegeling heeft de vorm

V⁢(θ)=NOT⁢U⁢(θ)=U⁢(−θ)⁢NOT.V(\theta)=\mathrm{NOT}\,U(\theta)=U(-\theta)\,\mathrm{NOT}. (2.33)

Een heel handige bewerking is bijvoorbeeld de Hadamard transformatie die als volgt werkt op de basistoestanden (zie Fig. 2.6):

H⁢|0⟩=12⁢(|0⟩+|1⟩)=|+⟩,H⁢|1⟩=12⁢(|0⟩−|1⟩)=|−⟩.H\left|0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lparen\left|0\right\rangle+\left% |1\right\rangle\right\rparen=\left|+\right\rangle,\qquad H\left|1\right\rangle% =\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lparen\left|0\right\rangle-\left|1\right\rangle\right% \rparen=\left|-\right\rangle. (2.34)

Dit wordt verkregen als het volgende speciale geval van de algemene spiegeling:

H=V⁢(π/4).H=V(\pi/4). (2.35)

Kortom, elke qubitbewerking is óf een rotatie U⁢(θ)U(\theta) of een spiegeling V⁢(θ)V(\theta), voor een bepaalde hoek θ\theta.

Figuur 2.6: De Hadamard-bewerking HH op een qubit komt overeen met een spiegeling om de as van 45/245/2 graden (of π/8\pi/8) (gestippeld). Verder zijn de toestanden |0⟩\left|0\right\rangle, |1⟩\left|1\right\rangle, |+⟩\left|+\right\rangle, en |−⟩\left|-\right\rangle van Vgl. 2.34 afgebeeld.