2.4.2 Quantumbewerkingen samenstellen

We kunnen altijd twee gegeven qubitbewerkingen MM en NN combineren tot een nieuwe qubitbewerking. Want als |ψ⟩\left|\psi\right\rangle de begintoestand is en we passen eerst MM toe, dan krijgen we M⁢(|ψ⟩)=M⁢|ψ⟩M(\left|\psi\right\rangle)=M\left|\psi\right\rangle. Als we dan NN toepassen is de resulterende toestand N⁢(M⁢|ψ⟩)N(M\left|\psi\right\rangle). We duiden deze samengestelde bewerking aan met N⁢MNM, zodat

N⁢M⁢|ψ⟩=N⁢(M⁢|ψ⟩).\displaystyle NM\left|\psi\right\rangle=N(M\left|\psi\right\rangle).

Pas op dat je de volgorde van de twee bewerkingen niet verwart. Als de samengestelde operatie N⁢MNM is, betekent dit dat MM als eerste wordt toegepast en NN als tweede! Dit komt omdat MM naast |ψ⟩\left|\psi\right\rangle staat en dus als eerste op de toestand moet worden toegepast.

Oefenopgave 2.4 (Lineariteit van een samengestelde bewerking (optioneel)).

Ga na dat N⁢MNM ook lineair is.

Hint: Gebruik Vgl. 2.20.

Solution. Neem een arbitraire toestand ψ0⁢|0⟩+ψ1⁢|1⟩\psi_{0}\left|0\right\rangle+\psi_{1}\left|1\right\rangle, gebruik eerst de lineariteit van MM en dan de lineariteit van NN:
N⁢M⁢(ψ0⁢|0⟩+ψ1⁢|1⟩)\displaystyle NM(\psi_{0}\left|0\right\rangle+\psi_{1}\left|1\right\rangle) =N⁢(M⁢(ψ0⁢|0⟩+ψ1⁢|1⟩))\displaystyle=N\big{\lparen}M(\psi_{0}\left|0\right\rangle+\psi_{1}\left|1% \right\rangle)\big{\rparen}
=N⁢(ψ0⁢M⁢|0⟩+ψ1⁢M⁢|1⟩)=ψ0⁢N⁢M⁢|0⟩+ψ1⁢N⁢M⁢|1⟩.\displaystyle=N\big{\lparen}\psi_{0}M\left|0\right\rangle+\psi_{1}M\left|1% \right\rangle\big{\rparen}=\psi_{0}NM\left|0\right\rangle+\psi_{1}NM\left|1% \right\rangle.
In de laatste stap hebben we gebruik gemaakt van 2.20.

Zo kunnen we ook drie of meer qubitbewerkingen samenstellen. Dit schrijven we op als O⁢N⁢MONM enzovoort. We kunnen met name nieuwe qubitbewerkingen krijgen door rotaties en spiegelingen samen te stellen. Dit zullen we hieronder bespreken.

Het is interessant om op te merken dat alle qubitbewerkingen die we tot nu toe hebben besproken inverteerbaar zijn. Dit betekent dat er voor elke bewerking MM een andere bewerking bestaat, die we schrijven als M−1M^{-1}, zo dat wanneer we eerst MM toepassen en dan M−1M^{-1} (of andersom) de toestand van de qubit niet verandert. 1111 11 Deze notatie en Vgl. 2.31 zullen je misschien aan het volgende doen denken: Als xx een getal is dat niet nul is, dan is x−1=1xx^{-1}=\frac{1}{x} zijn inverse, wat betekent dat x⁢x−1=x−1⁢x=1xx^{-1}=x^{-1}x=1. In formules kunnen we dit schrijven als

M−1⁢M=M⁢M−1=I,\displaystyle M^{-1}M=MM^{-1}=I, (2.31)

waarbij II de identiteit-bewerking is, die de “triviale” eigenschap

I⁢|0⟩=|0⟩,I⁢|1⟩=|1⟩I\left|0\right\rangle=\left|0\right\rangle,\qquad I\left|1\right\rangle=\left|% 1\right\rangle (2.32)

heeft. (We hadden II ook kunnen definiëren als U⁢(0)U(0), de rotatie met een hoek van nul.) Door uitbreiding door lineariteit geldt dus voor elke toestand |ψ⟩\left|\psi\right\rangle dat I⁢|ψ⟩=|ψ⟩I\left|\psi\right\rangle=\left|\psi\right\rangle.

Neem bijvoorbeeld de bewerking UU, die we geometrisch zien als een rotatie over de cirkel. Dan geldt dat roteren met een hoek β\beta ongedaan wordt gemaakt door een rotatie met een hoek −β-\beta. Om dit wat formeler te zien, hoeven we alleen maar twee keer Vgl. 2.29 te gebruiken:

U⁢(−β)⁢U⁢(β)⁢|ψ⁢(α)⟩=U⁢(−β)⁢|ψ⁢(α+β)⟩=|ψ⁢(α+β−β)⟩=|ψ⁢(α)⟩\displaystyle U(-\beta)U(\beta)\left|\psi(\alpha)\right\rangle=U(-\beta)\left|% \psi(\alpha+\beta)\right\rangle=\left|\psi(\alpha+\beta-\beta)\right\rangle=% \left|\psi(\alpha)\right\rangle

en hetzelfde geldt als we eerst roteren met −β-\beta en dan met β\beta. Dit betekent dat de inverse bewerking U⁢(β)−1{U(\beta)}^{-1} gewoon U⁢(−β)U(-\beta) is:

U⁢(β)−1=U⁢(−β).U(\beta)^{{-1}}=U(-\beta).

Op dezelfde manier, aangezien de NOT\mathrm{NOT}-bewerking neerkomt op een spiegeling, is het duidelijk dat het tweemaal toepassen ervan de qubit-toestand onveranderd laat. Zo blijkt uit Vgl. 1.17 dat

NOT⁢NOT⁢|0⟩=NOT⁢|1⟩=|0⟩enNOT⁢NOT⁢|1⟩=NOT⁢|0⟩=|1⟩.\displaystyle\mathrm{NOT}\,\mathrm{NOT}\left|0\right\rangle=\mathrm{NOT}\left|% 1\right\rangle=\left|0\right\rangle\quad\text{en}\quad\mathrm{NOT}\,\mathrm{% NOT}\left|1\right\rangle=\mathrm{NOT}\left|0\right\rangle=\left|1\right\rangle.

Door lineariteit betekent dit dat NOT⁢NOT⁢|ψ⟩=|ψ⟩\mathrm{NOT}\,\mathrm{NOT}\left|\psi\right\rangle=\left|\psi\right\rangle voor elke toestand |ψ⟩\left|\psi\right\rangle, dus N⁢O⁢TNOT is niet alleen inverteerbaar maar ook zijn eigen inverse, d.w.z. NOT−1=NOT\mathrm{NOT}^{-1}=\mathrm{NOT}.

Oefenopgave 2.5 (Inverse van een samengestelde bewerking).

Laat zien dat als MM en NN inverteerbaar zijn, N⁢MNM dat ook is. Druk de inverse (N⁢M)−1(NM)^{-1} van de samengestelde bewerking uit in termen van de afzonderlijke inverses N−1N^{{-1}} en M−1M^{{-1}}.

Solution. Er geldt (N⁢M)−1=M−1⁢N−1(NM)^{-1}=M^{-1}N^{-1}, want voor elke |ψ⟩\left|\psi\right\rangle geldt dat
M−1⁢N−1⁢N⁢M⁢|ψ⟩=M−1⁢(N−1⁢N⁢(M⁢|ψ⟩))=M−1⁢(M⁢|ψ⟩)=M−1⁢M⁢|ψ⟩=|ψ⟩M^{-1}N^{-1}NM\left|\psi\right\rangle=M^{-1}(N^{-1}N(M\left|\psi\right\rangle)% )=M^{-1}(M\left|\psi\right\rangle)=M^{-1}M\left|\psi\right\rangle=\left|\psi\right\rangle
en
N⁢M⁢M−1⁢N−1⁢|ψ⟩=N⁢(M⁢M−1⁢(N−1⁢|ψ⟩))=N⁢(N−1⁢|ψ⟩)=N⁢N−1⁢|ψ⟩=|ψ⟩.NMM^{-1}N^{-1}\left|\psi\right\rangle=N(MM^{-1}(N^{-1}\left|\psi\right\rangle)% )=N(N^{-1}\left|\psi\right\rangle)=NN^{-1}\left|\psi\right\rangle=\left|\psi% \right\rangle.

Het blijkt dat er kan worden aangetoond dat elke lineaire bewerking die de qubit-toestandsruimte op zichzelf afbeeldt, inverteerbaar moet zijn. Dit is inderdaad het geval voor rotaties U⁢(θ)U(\theta) en zal ook het geval zijn voor spiegelingen V⁢(θ)V(\theta) die we hierna zullen bespreken. Dit is in tegenstelling tot bewerkingen op probabilistische bits, waarbij bijvoorbeeld de probabilistische flip-bewerking F⁢(1/2)F(1/2) elke toestand omzet in de uniforme verdeling (1/21/2)\bigl{(}\begin{smallmatrix}1/2\\ 1/2\end{smallmatrix}\bigr{)} (zie 1.6) en dus niet inverteerbaar is.