2.4 Bewerkingen op een quantumbit

Voordat we een toestand meten, willen we er misschien een bewerking op uitvoeren. Maar welke soort bewerkingen kunnen we op een qubit uitvoeren? Bijvoorbeeld, wanneer we onze quantumcomputer opstarten, zal de quantumbit altijd in toestand |0⟩\left|0\right\rangle zitten, dus moeten we een bewerking uitvoeren om een interessante toestand |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle te creëren. Wat de bewerking ook is, het moet een andere qubit-toestand als uitvoer opleveren. Met andere woorden, het moet de qubit-toestandsruimte op zichzelf afbeelden. Dit betekent dat de bewerking elke willekeurige toestand, wat je kan zien als een punt in de toestandsruimte, afbeeldt op een punt dat ook in de toestandsruimte ligt. Denk terug aan Fig. 2.1, waarin is vastgesteld dat deze toestandsruimte overeenkomt met een cirkel, dus we zoeken naar manieren om de cirkel op zichzelf af te beelden.

Laten we eerst de NOT-bewerking bekijken, die we op precies dezelfde manier kunnen definiëren als in Vgl. 1.17 voor probabilistische bits:

NOT⁢|0⟩=|1⟩,NOT⁢|1⟩=|0⟩.\mathrm{NOT}\left|0\right\rangle=\left|1\right\rangle,\qquad\mathrm{NOT}\left|% 1\right\rangle=\left|0\right\rangle.

Hoe kunnen we NOT\mathrm{NOT} uitbreiden naar willekeurige qubit-toestanden? Net zoals we deden voor probabilistische bits in Paragraaf 1.2.1, zullen we het concept van lineariteit gebruiken. Als een operatie MM gedefinieerd is op |0⟩\left|0\right\rangle en |1⟩\left|1\right\rangle dan kunnen we deze op een willekeurige qubit-toestand definiëren door

M⁢(ψ0⁢|0⟩+ψ1⁢|1⟩)=ψ0⁢M⁢|0⟩+ψ1⁢M⁢|1⟩.\displaystyle M\Big{\lparen}\psi_{0}\left|0\right\rangle+\psi_{1}\left|1\right% \rangle\Big{\rparen}=\psi_{0}\,M\left|0\right\rangle+\psi_{1}\,M\left|1\right\rangle. (2.8)

We kunnen Vgl. 2.8 ook uitschrijven door de vectornotatie te gebruiken:

M⁢(ψ0ψ1)=M⁢(ψ0⁢(10)+ψ1⁢(01))=ψ0⁢M⁢(10)+ψ1⁢M⁢(01).\displaystyle M\begin{pmatrix}\psi_{0}\\ \psi_{1}\end{pmatrix}=M\Bigg{\lparen}\psi_{0}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}+\psi_{1}\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}\Bigg{\rparen}=\psi_{0}\,M\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}+\psi_{1}\,M\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}. (2.19)

Zoals al eerder is opgemerkt, wordt in de wiskunde een bewerking MM die aan deze voorwaarde voldoet lineair genoemd, en het uitbreiden van een bewerking op deze manier heet uitbreiden “door lineariteit”. Het belangrijkste punt is dat als MM lineair is en we weten hoe het werkt op |0⟩\left|0\right\rangle en op |1⟩\left|1\right\rangle, we kunnen afleiden hoe het werkt op willekeurige qubit-toestanden!

In Vgl. 2.8 hebben we alleen de vectoren |0⟩\left|0\right\rangle en |1⟩\left|1\right\rangle beschouwd. In het algemeen geldt ook dat

M⁢(a⁢|ψ⟩+b⁢|ϕ⟩)=a⁢M⁢|ψ⟩+b⁢M⁢|ϕ⟩\displaystyle M\Big{\lparen}a\left|\psi\right\rangle+b\left|\phi\right\rangle% \Big{\rparen}=a\,M\left|\psi\right\rangle+b\,M\left|\phi\right\rangle (2.20)

voor arbitraire vectoren |ψ⟩\left|\psi\right\rangle, |ϕ⟩\left|\phi\right\rangle en getallen aa, bb. Zie je hoe (2.20) volgt uit (2.8)?

De wetten van de quantummechanica garanderen dat elke lineaire bewerking MM een mogelijke qubit-bewerking is – zolang het de hele qubit-toestandsruimte op zichzelf afbeeldt! Hiermee bedoelen we dat elke qubit-toestand (een punt op de cirkel) wordt afgebeeld op een qubit-toestand (een punt op de cirkel).

In het geval van de NOT-bewerking is het resultaat van de uitbreiding door lineariteit

NOT⁢(ψ0⁢|0⟩+ψ1⁢|1⟩)=ψ0⁢|1⟩+ψ1⁢|0⟩,ofNOT⁢(ψ0ψ1)=(ψ1ψ0).\displaystyle\mathrm{NOT}\Big{\lparen}\psi_{0}\left|0\right\rangle+\psi_{1}% \left|1\right\rangle\Big{\rparen}=\psi_{0}\left|1\right\rangle+\psi_{1}\left|0% \right\rangle,\quad\text{of}\quad\mathrm{NOT}\begin{pmatrix}\psi_{0}\\ \psi_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\psi_{1}\\ \psi_{0}\end{pmatrix}. (2.25)

Merk op dat Vgl. 2.8, 2.19 en 2.25 er precies zo uitzien als Vgl. 1.26 en 1.22 – behalve dat nu ψ0\psi_{0} en ψ1\psi_{1} ook negatief kunnen zijn. Vertaald naar Fig. 2.2 komt de NOT-bewerking neer op een spiegeling rond de 45-graden-as (dit geldt ook voor probabilistische bits). Dit wordt weergegeven in Fig. 2.4. Het is hieruit duidelijk dat N⁢O⁢TNOT de qubit-toestandsruimte (cirkel) op zichzelf afbeeldt. De NOT-bewerking is dus een geldige bewerking op een quantumbit.

Figuur 2.4: De NOT-bewerking op een qubit, zoals gedefinieerd in Vgl. 2.25, komt overeen met een spiegeling om de as van 45 graden (of  π/4\pi/4) (gestippeld).

In Quirky ziet de N⁢O⁢TNOT-bewerking op qubits er net zo uit als de N⁢O⁢TNOT-bewerking op bits, namelijk ⨁\bigoplus. Probeer nu de volgende quantumberekening te maken:

[Uncaptioned image]

Het lijkt erop dat het meetresultaat 100% van de tijd ‘één’ zal zijn. De oorspronkelijke |0⟩\left|0\right\rangle wordt immers door de NOT-bewerking omgezet in een |1⟩\left|1\right\rangle toestand, zodat de uitkomst altijd ‘één’ zal zijn volgens de meetregels in Vgl. 2.7.


We kunnen op dezelfde manier qubitbewerkingen bepalen door spiegelingen door andere assen te bekijken. Bijvoorbeeld, de Z-bewerking, gedefinieerd door

Z⁢|0⟩=|0⟩,Z⁢|1⟩=−|1⟩,Z\left|0\right\rangle=\left|0\right\rangle,\qquad Z\left|1\right\rangle=-\left% |1\right\rangle, (2.26)

komt overeen met een spiegeling om de horizontale |0⟩\left|0\right\rangle-as. Als we Z uitbreiden door lineariteit werkt het namelijk op een willekeurige qubit-toestand als

Z⁢(ψ0ψ1)=(ψ0−ψ1),\displaystyle Z\begin{pmatrix}\psi_{0}\\ \psi_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\psi_{0}\\ -\psi_{1}\end{pmatrix},

wat zeker qubit-toestanden op qubit-toestanden afbeeldt.

Huiswerkopdracht 2.2 (Z-bewerking).

We beschouwen de volgende twee toestanden van een qubit:

|+⟩\displaystyle\left|+\right\rangle =|0⟩+|1⟩2,\displaystyle=\frac{\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle}{\sqrt{2}}, |−⟩\displaystyle\left|-\right\rangle =|0⟩−|1⟩2.\displaystyle=\frac{\left|0\right\rangle-\left|1\right\rangle}{\sqrt{2}}.
  1. 1.
    ​

    Bereken Z⁢|+⟩Z\left|+\right\rangle en Z⁢|−⟩Z\left|-\right\rangle.

  2. 2.
    ​

    Geef de ZZ-bewerking grafisch weer op de cirkel, zoals in Fig. 2.4.

Hack.
  1. 1.
    ​

    ZZ acts on the |+⟩\left|+\right\rangle state as follows:

    Z⁢|+⟩=Z⁢(12⁢|0⟩+12⁢|1⟩)=12⁢Z⁢|0⟩+12⁢Z⁢|1⟩=12⁢|0⟩−12⁢|1⟩=|−⟩,\displaystyle Z\left|+\right\rangle=Z\Bigg{\lparen}\frac{1}{\sqrt{2}}\left|0% \right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|1\right\rangle\Bigg{\rparen}=\frac{1}{% \sqrt{2}}Z\left|0\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}Z\left|1\right\rangle=\frac{1% }{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}\left|1\right\rangle=\left|-% \right\rangle,

    and similarly Z⁢|−⟩=|+⟩Z\left|-\right\rangle=\left|+\right\rangle.

  2. 2.
    ​

    ZZ acts as a reflection about the horizontal |0⟩\left|0\right\rangle-axis!

Oefenopgave 2.2 (Lineariteit is niet genoeg (optioneel)).

Beschouw de bewerking M⁢A⁢DMAD , die je krijgt door M⁢A⁢D⁢|0⟩=|0⟩MAD\left|0\right\rangle=\left|0\right\rangle en M⁢A⁢D⁢|1⟩=12⁢(|0⟩+|1⟩)MAD\left|1\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1% \right\rangle\right) lineair uit te breiden. Zoek een toestand |ψ⟩\left|\psi\right\rangle zo dat MAD⁢|ψ⟩\mathrm{MAD}\left|\psi\right\rangle geen geldige qubit-toestand is. M⁢A⁢DMAD is dus geen geldige bewerking op qubits!

Solution. Neem |ψ⟩=12⁢(|0⟩+|1⟩)\left|\psi\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1% \right\rangle\right), wat een geldige quantumtoestand is. Omdat MAD\mathrm{MAD} is verkregen door lineair uit te breiden, volgt uit Vgl. 2.8 dat
MAD⁢|ψ⟩\displaystyle\mathrm{MAD}\left|\psi\right\rangle =MAD⁢(12⁢|0⟩+12⁢|1⟩)=12⁢MAD⁢|0⟩+12⁢MAD⁢|1⟩\displaystyle=\mathrm{MAD}\Bigg{\lparen}\frac{1}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle% +\frac{1}{\sqrt{2}}\left|1\right\rangle\Bigg{\rparen}=\frac{1}{\sqrt{2}}% \mathrm{MAD}\left|0\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{MAD}\left|1\right\rangle
=12⁢|0⟩+12⁢(|0⟩+|1⟩)=(12+12)⁢|0⟩+12⁢|1⟩.\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle+\frac{1}{2}\left(\left|0% \right\rangle+\left|1\right\rangle\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}% \right)\left|0\right\rangle+\frac{1}{2}\left|1\right\rangle.
Maar
(12+12)2+(12)2=1+12≠1,\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}% \right)^{2}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}\neq 1,
dus MAD⁢|ψ⟩\mathrm{MAD}\left|\psi\right\rangle is niet een geldige qubit-toestand