2.5.1 Nog een mysterieuze bewerking

We hebben het nog niet gehad over het gele vakje in Quirky. In tegenstelling tot de mysterieuze bewerking van vorige week, die op bits werkte, werkt het mysterieuze vakje van deze week op quantumbits. Laten we deze mysterieuze quantumbewerking $M$ noemen. Hoe komen we erachter wat er in het vakje gebeurt? Laten we eerst bepalen wat $M\left|0\right\rangle$ is. In Quirky kunnen we deze toestand creëren met de volgende opstelling:

Het bepalen van een onbekende toestand wordt quantumtoestand-tomografie genoemd, omdat we een onbekende quantumtoestand van buitenaf willen reconstrueren door verschillende metingen uit te voeren. Dit is een fundamentele taak waarmee experimentalisten elke dag te maken krijgen: is de toestand die in het laboratorium wordt gemaakt, inderdaad de toestand die zij wilden maken?

We kunnen al een hoop informatie krijgen door een meting uit te voeren op de onbekende toestand. Om dit te kunnen zien, stellen we

\displaystyle M\left|0\right\rangle=\begin{pmatrix}\psi_{0}\\ \psi_{1}\end{pmatrix}.

Als we een meting uitvoeren, krijgen we volgens Vgl. 2.6 de uitkomst $1$ met een waarschijnlijkheid van $\psi_{1}^{2}$ . Dit betekent dat als we het bovenstaande experiment vele malen herhalen, we verwachten dat de fractie van de keren dat we uitkomst $1$ krijgen ongeveer $\psi_{1}^{2}$ is. Dit is geheel analoog aan hoe je de zuiverheid van een muntje kan schatten door het vele malen op te gooien en het aantal koppen en munten te tellen, zoals we vorige week hebben besproken in Paragraaf 1.3. Dit geeft ons een procedure voor het schatten van $\psi_{1}^{2}$ . In Quirky kunnen we simpelweg de ’Probability Display’ na de meting gebruiken om de kans op uitkomst $1$ te bepalen:

Dus concluderen we dat $\psi_{1}^{2}\approx 11.7\%$ . Omdat $M\left|0\right\rangle$ een eenheidsvector is, kunnen we ook afleiden dat $\psi_{0}^{2}=1-\psi_{1}^{2}\approx 88.3\%$ . Maar de amplitudes kunnen ook negatief zijn, dus dit bepaalt alleen $\psi_{0}$ en $\psi_{1}$ tot aan de tekens! Denk nu terug aan 2.7, waar staat dat $\left|\psi\right\rangle$ en $-\left|\psi\right\rangle$ niet te onderscheiden zijn, dus we kunnen $\left|\psi\right\rangle=M\left|0\right\rangle$ alleen bepalen tot een totaal $\pm$ -teken. Er blijven dus twee mogelijkheden over:

\displaystyle\pm\begin{pmatrix}\sqrt{88.3\%}\\ \sqrt{11.7\%}\end{pmatrix},\quad\pm\begin{pmatrix}\sqrt{88.3\%}\\ -\sqrt{11.7\%}\end{pmatrix}

Merk op dat deze situatie erg lijkt op 2.6, waar we moesten kiezen tussen $\left|+\right\rangle$ en $\left|-\right\rangle$ . In de laatste huiswerkopdracht ga je de situatie ophelderen en de innerlijke werking van de mysteriebox onthullen.

Huiswerkopdracht 2.6 (Tijd voor nog een mysterie).

1.

Hoe bepaal je welke van de twee opties het geval is? Gebruik Quirky om de quantumtoestand $M\left|0\right\rangle$ tot aan het teken te bepalen.
2.

Bepaal ook de quantumtoestand $M\left|1\right\rangle$ tot aan het teken.
3.

Bonus vraag: Bepalen de stappen 1 en 2 de quantumbewerking $M$ volledig? Zo ja, schrijf een formule op voor $M$ . Zo nee, hoe kun je dan $M$ achterhalen?

Hack.

1.

We must determine which of the two forms the state $M\left|0\right\rangle$ is:

$M\left|0\right\rangle=\pm\begin{pmatrix}\sqrt{0.883}\\ \sqrt{0.117}\end{pmatrix}=\pm\left|M_{0}\right\rangle\qquad\text{or}\qquad M% \left|0\right\rangle=\pm\begin{pmatrix}\sqrt{0.883}\\ -\sqrt{0.117}\end{pmatrix}=\pm\left|M_{1}\right\rangle.$

We can picture the two states $\left|M_{0}\right\rangle$ and $\left|M_{1}\right\rangle$ as follows: Calculating the angle $\theta$ can be done as follows:

$\theta=\arctan\left(\frac{\sqrt{0.117}}{\sqrt{0.883}}\right)\approx 0.349.$

If we are dealing with $\left|M_{0}\right\rangle$ , then rotating the state by an angle of $-\theta$ gives the state $\left|0\right\rangle$ , and hence a measurement would have a $0\%$ chance of yielding the value $1$ . On the other hand, if we are dealing with $\left|M_{1}\right\rangle$ , then rotating by an angle of $-\theta$ will yield neither $\left|0\right\rangle$ nor $\left|1\right\rangle$ , hence the probability of the measurement outcome will be neither $0\%$ nor $100\%$ . So, let’s build this circuit and see what probability we get!

The probability of getting outcome $1$ is exactly $0\%$ , meaning that we are dealing with the state $\left|M_{0}\right\rangle$ . So, we conclude that:

$M\left|0\right\rangle=\pm\begin{pmatrix}\sqrt{0.883}\\ \sqrt{0.117}\end{pmatrix}.$
2.

We insert a NOT operation in front of the mystery operation in the circuit shown above. This will change the state from $\left|0\right\rangle$ to $\left|1\right\rangle$ , and hence after the application of the mystery operation, we have the state $M\left|1\right\rangle$ . We measure this state and check the probability of getting $1$ :

Hence, we find that $M\left|1\right\rangle$ is of the following form:

$M\left|1\right\rangle=\pm\begin{pmatrix}\sqrt{0.117}\\ \sqrt{0.883}\end{pmatrix}=\pm\left|N_{0}\right\rangle\qquad\text{or}\qquad M% \left|1\right\rangle=\pm\begin{pmatrix}\sqrt{0.117}\\ -\sqrt{0.883}\end{pmatrix}=\pm\left|N_{1}\right\rangle$

Now we can make a similar drawing:

And again we can calculate $\theta$ :

$\theta=\arctan\left(\frac{\sqrt{0.883}}{\sqrt{0.117}}\right)\approx 1.221.$

So, we can do a similar trick as before:

We see that the probability of getting outcome $1$ is not $0$ , hence we must be dealing with the state $\left|N_{1}\right\rangle$ , and so we find:

$M\left|1\right\rangle=\pm\begin{pmatrix}\sqrt{0.117}\\ -\sqrt{0.883}\end{pmatrix}.$
3.

The somewhat surprising answer is no, since the sign of $M\left|0\right\rangle$ relative to $M\left|1\right\rangle$ is important and still undetermined. However, even though we cannot determine the signs of $M\left|0\right\rangle$ and $M\left|1\right\rangle$ individually, we can find out whether they are the same or not. This can be done by applying $M$ to some intermediate state such as $\left|+\right\rangle$ . If the signs are the same, we obtain:

$M\left|+\right\rangle=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}\sqrt{0.883}+\sqrt{0% .117}\\ \sqrt{0.117}-\sqrt{0.883}\end{pmatrix}\approx\pm\begin{pmatrix}0.906\\ -0.442\end{pmatrix}.$

On the other hand, if the signs are opposite, we have:

$M\left|+\right\rangle=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}\sqrt{0.883}-\sqrt{0% .117}\\ \sqrt{0.117}+\sqrt{0.883}\end{pmatrix}\approx\pm\begin{pmatrix}0.442\\ -0.906\end{pmatrix}.$

We can have a look at what Quirky tells us:

Apparently, the probability of getting $1$ is $82.1\%$ . Since $0.821=(-0.906)^{2}$ , we must be in the second case. So, the signs of $M\left|0\right\rangle$ and $M\left|1\right\rangle$ must be different. This tells us everything we can possibly figure out about $M$ .