3.2.5 Verstrengelde toestanden

In Vgl. 3.50 gebruikten we het tensorproduct om een twee-qubitstoestand op te bouwen uit twee één-qubitstoestanden. In Paragraaf 3.2.3 hebben we gezien dat deze producttoestanden precies de toestanden zijn die gemaakt kunnen worden door locale quantumbewerkingen toe te passen op |00⟩=|0⟩⊗|0⟩\left|00\right\rangle=\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle (wat zelf een producttoestand is). Er bestaan ook twee-qubitstoestanden die niet producttoestanden zijn. We noemen deze toestanden verstrengeld, en zoals we zullen zien zijn ze erg belangrijk voor quantumcomputing.

Hoe kunnen we bepalen of een toestand een producttoestand is of niet? Ook al worden quantumtoestanden bepaald door amplitudes en niet door waarschijnlijkheden, kunnen we alsnog dezelfde methode gebruiken als we in Paragraaf 3.1.8 hebben gebruikt om te bepalen of een kansverdeling gecorreleerd is. Gegeven een twee-qubitstoestand in de vorm (3.31), berekenen we eerst met Vgl. 3.29

Δ⁢(|ψ⟩)=ψ00⁢ψ11−ψ01⁢ψ10.\displaystyle\Delta(\left|\psi\right\rangle)=\psi_{00}\psi_{11}-\psi_{01}\psi_% {10}. (3.67)

|ψ⟩\left|\psi\right\rangle is een producttoestand als en alleen als Δ⁢(|ψ⟩)=0\Delta(\left|\psi\right\rangle)=0. Op deze manier zijn verstrengelde toestanden vergelijkbaar met gecorreleerde kansverdelingen.

Een eenvoudig maar erg belangrijk voorbeeld van een verstrengelde twee-qubitstoestand is

|Φ+⟩=12⁢|00⟩+12⁢|11⟩.\displaystyle\left|\Phi^{+}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right% \rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|11\right\rangle. (3.68)

Deze toestand is vergelijkbaar met de perfect gecorreleerde random bits uit Vgl. 3.28. De toestand is verstrengeld omdat

Δ⁢(|Φ+⟩)=12⋅12−0⋅0=12≠0.\displaystyle\Delta(\left|\Phi^{+}\right\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{% 1}{\sqrt{2}}-0\cdot 0=\frac{1}{2}\neq 0.

We noemen |Φ+⟩\left|\Phi^{+}\right\rangle de maximaal verstrengelde toestand van twee qubits (al is de reden voor deze naam en de bijzondere notatie op dit moment nog niet erg duidelijk).


Hoe kunnen we verstrengelde toestanden maken? Net als toen we gecorreleerde toestanden uit twee bits wilden maken, kunnen we de controlled-NOT-bewerking gebruiken om twee quantumbits met elkaar te laten wisselwerken. De volgende volgorde van operaties maakt bijvoorbeeld de maximaal verstrengelde toestand |Φ+⟩\left|\Phi^{+}\right\rangle:

[Uncaptioned image]

Laten we dit snel uitwerken:

CNOT1→2⁢(H⊗I)⁢|00⟩=CNOT1→2⁢(12⁢|00⟩+12⁢|10⟩)=12⁢|00⟩+12⁢|11⟩.\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\left(H\otimes I\right)\left|00\right% \rangle=\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right\rangle+% \frac{1}{\sqrt{2}}\left|10\right\rangle\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00% \right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|11\right\rangle.

Merk op dat als je CNOT direct op |00⟩\left|00\right\rangle toepast, of op welke andere basistoestand dan ook, dit niet zou hebben gewerkt (zie Vgl. 3.63).

Huiswerkopdracht 3.6 (Een verstrengelde toestand).
  1. 1.
    ​

    Laat zien dat de toestand |ψ⟩=12⁢|01⟩+32⁢|10⟩\left|\psi\right\rangle=\frac{1}{2}\left|01\right\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}% \left|10\right\rangle verstrengeld is.

    Hint: Bereken Vgl. 3.67.

  2. 2.
    ​

    Maak een reeks bewerkingen in Quirky die de toestand |ψ⟩\left|\psi\right\rangle maakt.

    Hint: Je moet misschien een geschikte rotatie maken.

  3. 3.
    ​

    Wat zijn de kansen op de meetuitkomsten bij het meten van beide qubits van |ψ⟩\left|\psi\right\rangle? Gebruik Quirky om je resultaat te bevestigen.

Hack.
  1. 1.
    ​

    We calculate Δ⁢(|ψ⟩)=−34≠0\Delta(\left|\psi\right\rangle)=-\frac{\sqrt{3}}{4}\neq 0. The fact that this is non-zero implies that |ψ⟩\left|\psi\right\rangle is entangled.

  2. 2.
    ​

    We can get the two desired amplitudes from cos⁡(π/3)=12\cos(\pi/3)=\frac{1}{2} and sin⁡(π/3)=32\sin(\pi/3)=\frac{\sqrt{3}}{2}. This suggests that we use a rotation U⁢(θ)U(\theta) with angle θ=π/3\theta=\pi/3 in the following way:

    [Uncaptioned image]

    This does indeed the job:

    CNOT1→2⁢(U⁢(π/3)⊗NOT)⁢|00⟩\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\big{\lparen}U(\pi/3)\otimes\mathrm{NOT}% \big{\rparen}\left|00\right\rangle =CNOT1→2⁢(12⁢|01⟩+32⁢|11⟩)\displaystyle=\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\left(\frac{1}{2}\left|01\right\rangle+% \frac{\sqrt{3}}{2}\left|11\right\rangle\right)
    =12⁢|01⟩+32⁢|10⟩.\displaystyle=\frac{1}{2}\left|01\right\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}\left|10% \right\rangle.
  3. 3.
    ​

    We get [01][01] with probability 14\frac{1}{4} and [10][10] with probability 34\frac{3}{4}. Indeed:

    [Uncaptioned image]

De maximaal verstrengelde toestand in Vgl. 3.68 is een lid van een familie van vier toestanden, de zogenaamde Bell-toestanden. De Bell-toestanden zijn als volgt gedefinieerd:

|Φ+⟩\displaystyle\left|\Phi^{+}\right\rangle =12⁢|00⟩+12⁢|11⟩,\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|% 11\right\rangle, (3.69)
|Φ−⟩\displaystyle\left|\Phi^{-}\right\rangle =12⁢|00⟩−12⁢|11⟩,\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}\left|% 11\right\rangle, (3.70)
|Ψ+⟩\displaystyle\left|\Psi^{+}\right\rangle =12⁢|01⟩+12⁢|10⟩,\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|01\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|% 10\right\rangle, (3.71)
|Ψ−⟩\displaystyle\left|\Psi^{-}\right\rangle =12⁢|01⟩−12⁢|10⟩.\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|01\right\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}\left|% 10\right\rangle. (3.72)

Ze zijn vernoemd naar John Steward Bell, die als een van de eersten de opmerkelijke eigenschappen van quantumverstrengeling herkende. Hoe kunnen we deze vier Bell toestanden maken? We zagen hierboven dat we |Φ+⟩\left|\Phi^{+}\right\rangle kunnen maken door een Hadamard- en een CNOT-bewerking toe te passen op de basistoestand |00⟩\left|00\right\rangle. Je kunt nagaan dat de andere drie Bell-toestanden op dezelfde manier gevormd kunnen worden, dat wil zeggen door dezelfde reeks bewerkingen toe te passen op de andere drie basistoestanden. Met andere woorden, als we

UBell=CNOT1→2⁢(H⊗I)U_{\text{Bell}}=\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\left(H\otimes I\right) (3.73)

definiëren geldt dat

|Φ+⟩=UBell⁢|00⟩,|Φ−⟩=UBell⁢|10⟩,\displaystyle\left|\Phi^{+}\right\rangle=U_{\text{Bell}}\left|00\right\rangle,% \qquad\left|\Phi^{-}\right\rangle=U_{\text{Bell}}\left|10\right\rangle,
|Ψ+⟩=UBell⁢|01⟩,|Ψ−⟩=UBell⁢|11⟩.\displaystyle\left|\Psi^{+}\right\rangle=U_{\text{Bell}}\left|01\right\rangle,% \qquad\left|\Psi^{-}\right\rangle=U_{\text{Bell}}\left|11\right\rangle.
Oefenopgave 3.12 (Bell-toestanden maken).

Teken hoe je in Quirky de andere drie Bell-toestanden kan maken: |Φ−⟩\left|\Phi^{-}\right\rangle, |Ψ+⟩\left|\Psi^{+}\right\rangle en |Ψ−⟩\left|\Psi^{-}\right\rangle.

Solution.
  • •
    ​

    |Φ−⟩\left|\Phi^{-}\right\rangle:

    [Uncaptioned image]

  • •
    ​

    |Ψ+⟩\left|\Psi^{+}\right\rangle:

    [Uncaptioned image]

  • •
    ​

    |Ψ−⟩\left|\Psi^{-}\right\rangle:

    [Uncaptioned image]

Oefenopgave 3.13 (Bell-toestanden onderscheiden).

De robot-ezel van Alice is verdwaald geraakt tijdens een verkenningsmissie! De robot wil Alice laten weten waar hij is, zodat ze hem kan redden. De ezel zit in een van de vier wijken rondom de school. Om te laten weten in welke wijk de ezel zit, stuurt hij een twee-qubit quantumbericht |x,y⟩\left|x,y\right\rangle, waarbij x∈{0,1}x\in\{0,1\} het xx-coördinaat van zijn locatie aangeeft en y∈{0,1}y\in\{0,1\} het yy-coördinaat:

[Uncaptioned image]

Helaas verstoort Alice’s gemene klasgenoot Eve het signaal en in plaats van het signaal ontvangt Alice een van de vier Bell-toestanden zoals hierboven afgebeeld. Help Alice om het signaal correct te ontcijferen en haar robot-ezel te vinden! Dat wil zeggen, vind een reeks bewerkingen die elk van de vier Bell-toestanden weer omzet naar de bijbehorende basistoestand |x,y⟩\left|x,y\right\rangle.

Solution. Merk op dat dit hetzelfde is als het inverteren van de bewerking UBellU_{\text{Bell}} uit Vgl. 3.73. Bedenk je dat UBell=CNOT1→2⁢(H⊗I)U_{\text{Bell}}=\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\left(H\otimes I\right). Dit is een samengestelde bewerking, dus uit 2.5 volgt dat
UBell−1=(H⊗I)−1⁢CNOT1→2−1=(H−1⊗I)⁢CNOT1→2−1.U_{\text{Bell}}^{{-1}}=(H\otimes I)^{{-1}}\,\mathrm{CNOT}_{1\to 2}^{{-1}}=(H^{% {-1}}\otimes I)\,\mathrm{CNOT}_{1\to 2}^{{-1}}.
Denk eraan dat volgens Vgl. 3.66 CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2} de inverse is van zichzelf, dus CNOT1→2−1=CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2}^{{-1}}=\mathrm{CNOT}_{1\to 2}. Het is ook zo dat H−1=HH^{{-1}}=H (dit geldt eigenlijk voor elke spiegeling). Dit betekent dat we UBellU_{\text{Bell}} ongedaan kunnen maken door dezelfde twee bewerkingen toe te passen, maar dan in omgekeerde volgorde:
UBell−1=(H⊗I)⁢CNOT1→2.U_{\text{Bell}}^{{-1}}=(H\otimes I)\,\mathrm{CNOT}_{1\to 2}.
Dat wil zeggen, we passen eerst CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2} en dan HH toe op het eerste qubit, zoals in:

[Uncaptioned image]