3.2.3 Parallelle bewerkingen

Als je een bewerking toepast op het eerste qubit en een andere op het tweede qubit, dan maakt de volgorde van deze twee bewerkingen niet uit. Dat wil zeggen, als $U$ en $V$ willekeurige één-qubit bewerkingen zijn , dan geldt dat

Dit is al een vrij intuitief resultaat, maar we kunnen het ook wiskundig laten zien met Vgl. 3.56 en 3.57. Voor elke basistoestand $\left|a,b\right\rangle$ , waarbij $a,b\in\{0,1\}$, geldt

dus Vgl. 3.58 volgt door lineariteit.

Aangezien de twee bewerkingen op verschillende qubits werken, kunnen we ze zelfs parallel uitvoeren! Dit wijst op de introductie van een nieuwe notatie voor de bewerking in Vgl. 3.58:

We maken opnieuw gebruik van het tensorproductsymbool dat we eerst introduceerden om twee onafhankelijke één-qubitstoestanden te combineren tot een twee-qubitstoestand. Dezelfde interpretatie geldt ook voor quantumbewerkingen: $U\otimes V$ staat voor de gecombineerde bewerking die bestaat uit het toepassen van $U$ en $V$ op twee verschillende delen van een groter systeem. Deze notatie is vooral handig omdat het mooi aansluit bij het originele tensorproduct voor toestanden:

Deze vergelijking zegt dat als je twee onafhankelijke toestanden hebt en je past een bewerking toe die op elk van de twee toestanden onafhankelijk werkt, dat je dan uiteindelijk elk van de twee bewerkingen op de bijbehorende toestand toepast. We noemen $U\otimes V$ het tensorproduct van twee quantumbewerkingen of een parallelle bewerking.

Met Quirky kunnen we lokale quantumbewerkingen parallel uitvoeren. We hadden bijvoorbeeld de volgorde van bewerkingen in Vgl. 3.54 ook kunnen schrijven als

waarbij de $\mathrm{NOT}$-bewerking en de Hadamard-bewerking nu parallel worden toegepast.

Laten we kijken naar een ander voorbeeld. Wat gebeurt er als we $H$ toepassen op beide qubits? Deze bewerking wordt aangeduid met $H\otimes H$ en werkt volgens Vgl. 2.34 en 3.59 als volgt:

De verkregen toestand wordt de uniforme superpositie over twee qubits genoemd, omdat het bestaat uit elk van de twee-qubit basisvectoren met een gelijke amplitude. Als we een meting uitvoeren op deze toestand kunnen we alle vier de uitkomsten met gelijke waarschijnlijkheid krijgen. We kunnen dit eenvoudig controleren met Quirky:

аVgl. 3.59 laat zien dat als we een parallelle bewerking toepassen op een producttoestand, we een andere producttoestand krijgen. In feite kunnen we, als we starten met $\left|00\right\rangle$ op deze manier elke producttoestand krijgen. Dit geeft een eenvoudige interpretatie aan de producttoestanden: dit zijn precies de toestanden die we kunnen krijgen door een arbitraire parallelle bewerking toe te passen op twee qubits die in de toestand  $\left|00\right\rangle$ zitten.

We sluiten onze beschrijving van lokale bewerkingen af met wat algemene opmerkingen. Ten eerste is het niet moeilijk om te controleren dat

voor vier willekeurige één-qubit bewerkingen $U$, $U^{\prime}$, $V$, $V^{\prime}$. Kun je een plaatje maken om te visualiseren wat hier gebeurt?

We kunnen nu gebruik maken van de identiteitsbewerking $I$ uit Vgl. 2.32, die werkt als $I\left|\psi\right\rangle=\left|\psi\right\rangle$ (dit kan je uitbreiden naar $I_{1}$ en $I_{2}$ op twee qubits). Dit is op zichzelf nogal nutteloos, maar kan handig gebruikt worden in de tensorproductnotatie. We kunnen hiermee bijvoorbeeld zeggen dat

wat het heel duidelijk maakt dat bijvoorbeeld $U_{1}$ de $U$-bewerking toepast op het eerste qubit en niets op het tweede qubit. De identiteit $U_{1}V_{2}=V_{2}U_{1}$ uit Vgl. 3.58 kunnen we nu bijvoorbeeld schrijven als

wat vrij intuïtief is.

Je zou je kunnen afvragen of de volgorde van de bewerkingen er eigenlijk wel toe doet, ook al passen we ze toe op dezelfde qubit? Als we twee rotaties beschouwen dan volgt uit Vgl. 2.29 dat de volgorde niet belangrijk is omdat

Maar als $U$ en $V$ twee arbitraire één-qubit bewerkingen zijn (vooral als één van hen een spiegeling is), dan hangt hun samenstelling in het algemeen af van de volgorde (zie 3.11 hieronder). Dat wil zeggen,

Dit probleem blijft natuurlijk ook bestaan als je een andere qubit in de buurt hebt, maar toch met beide bewerkingen op dezelfde qubit werkt. Het geldt dus dat

We kunnen dit ook schrijven als $U_{1}V_{1}\neq V_{1}U_{1}$ (en hetzelfde voor de situatie waarbij we beide bewerkingen toepassen op het tweede qubit).

Om het verschil tussen Vgl. 3.61 en 3.62 wat intuïtiever te maken, kan je je voorstellen dat $U$ staat voor ’een sok aantrekken’ en $V$ voor ’een schoen aantrekken’. Het is duidelijk dat wanneer $U$ en $V$ op dezelfde voet worden toegepast, je verschillende resultaten krijgt, afhankelijk van de volgorde! Maar als je $U$ en $V$ op verschillende voeten toepast (je gebruikt bijvoorbeeld $U\otimes I$ en $I\otimes V$), dan krijg je hetzelfde resultaat, ongeacht de volgorde van de twee bewerkingen. Hoe dan ook, als je goed gekleed wilt zijn, moet je eerst $(U\otimes U)$ toepassen en daarna $(V\otimes V)$.