3.1.8 Gecorreleerde verdelingen

Sommige twee-bit verdelingen zijn niet een productverdeling – ze kunnen niet geschreven worden in de vorm van Vgl. 3.22 of Vgl. 3.24, welke waarden van $q_{a}$ en $r_{b}$ je ook kiest. We zeggen dat een verdeling gecorreleerd is als het geen productverdeling is. Een voorbeeld van een gecorreleerde verdeling is

Om te zien dat dit geen productverdeling is, stellen we voor dat we een van de bits meten. De uitkomst $a$ zal volledig willekeurig zijn, d.w.z. of $0$ of $1$ met elk een waarschijnlijkheid van 50%. Zodra we echter de uitkomst $a$ weten, staat de toestand van het overige bit volledig vast – een meting zou dezelfde uitkomst opleveren met een waarschijnlijkheid van 100%. De toestand van het overige bit is dus $b=a$, wat afhangt van de uitkomst $a$ van de meting van het andere bit. We zagen in 3.5 dat dit niet het geval kan zijn voor een productverdeling. We hebben dus bewezen dat Vgl. 3.28 een gecorreleerde toestand beschrijft. Sterker nog, de twee bits zijn perfect gecorreleerd omdat beide meetuitkomsten volledig willekeurig zijn maar altijd identiek ($a=b$). Door deze eigenschap zeggen we dat Vgl. 3.28 een stel perfect gecorreleerde willekeurige bits beschrijft.

Gecorreleerde verdelingen komen van nature voor door een vorm van interactie. Stel bijvoorbeeld dat je een zuiver muntje opgooit, de uitkomst op een stuk papier schrijft, het papier in een envelop stopt en de envelop aan een vriend geeft. Vanuit het perspectief van je vriend (die de bereidingsprocedure kent, maar niet wat er op het papier in de envelop staat), wordt de toestand van je muntje (bit 1) en van het stuk papier in hun envelop (bit 2) beschreven door

$$\frac{1}{2}\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}\otimes\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/envelope-heads-nl.pdf}}}+\frac{1}{2}\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/1.png}}}\otimes\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/envelope-tails-nl.pdf}}}$$

wat niets anders is dan een leuke manier om de twee-bits toestand van Vgl. 3.28 op te schrijven.

Hoe kunnen we gecorreleerde toestanden maken in Quirky? Alleen lokale bewerkingen zijn niet genoeg, omdat die alleen producttoestanden kunnen maken. We kunnen wel de controlled-NOT-bewerking gebruiken om de twee bits met elkaar te laten communiceren, zoals in de volgende Quirky berekening:

Waarom werkt dit? Dat kan je in de volgende opgave uitwerken:

Om te bepalen of een willekeurige twee-bit verdeling

overeenkomt met een product- of een gecorreleerde toestand, kun je simpelweg de volgende waarde berekenen:

Als $\Delta(p)=0$ dan is $p$ een productverdeling; anders is het gecorreleerd. Bijvoorbeeld, voor de toestand in Vgl. 3.28 geldt dat

wat bevestigt dat het inderdaad gecorreleerd is en geen producttoestand. Als je nieuwsgierig bent waarom deze eenvoudige voorwaarde werkt, kan je de uitleg hieronder lezen. Maar omdat het niet essentieel is voor het begrijpen van de rest van de stof, mag je het ook gerust overslaan.

Om te bewijzen dat $\Delta(p)=0$ overeenkomt dat $p$ een producttoestand is, moeten we twee dingen laten zien. Ten eerste moeten we laten zien dat als $p$ een producttoestand is, $\Delta(p)=0$. Als $p=q\otimes r$ dan geldt inderdaad dat

Hoe zit het met de omgekeerde stelling – kan $\Delta(p)=0$ ook als $p$ geen producttoestand is? Het blijkt dat dit niet mogelijk is! Om dit te bewijzen nemen we aan dat $\Delta(p)=0$ en laten we zien dat $p=q\otimes r$, waarbij $q$ en $r$ probabilistische bits zijn. We kiezen deze twee bits als volgt:

Merk op dat $q$ en $r$ gewoon de verdelingen van uitkomsten van Fig. 3.3 zijn die we zouden krijgen als we het eerste of het tweede bit zouden meten. We gaan nu na of deze keuze van $q$ en $r$ inderdaad de toestand $p$ oplevert:

Hier gebruikten we eerst Vgl. 3.26, daarna hebben we het tensorproduct uitgeschreven. Hierna hebben we $\Delta(p)=0$ gebruikt om $\boldsymbol{p_{01}p_{10}}$ te vervangen door $\boldsymbol{p_{00}p_{11}}$ (zie Vgl. 3.29) en tenslotte hebben we $p_{00}+p_{01}+p_{10}+p_{11}=1$ gebruikt, wat geldt omdat $p$ een kansverdeling is. De drie termen die we hebben afgekort met ’…’ kunnen op dezelfde manier worden berekend. Probeer zelf de details in te vullen en een ervan te controleren.

We hebben eerder gezien in 3.5 dat $p$ geen producttoestand kan zijn als het meten van het eerste bit de toestand van het tweede bit ’verstoort’. In feite is het omgekeerde ook waar, zoals je kunt laten zien in de volgende huiswerkopdracht.