3.1.2 Lokale bewerkingen

Als je twee of meer probabilistische bits hebt, kun je daar op veel verschillende manieren een bewerking op uitvoeren. In het bijzonder kun je een bewerking op alle bits tegelijk uitvoeren met een globale bewerking of slechts op één of een paar tegelijk met een lokale bewerking. Laten we eerst de lokale bewerkingen bekijken.

Denk aan de NOT-bewerking uit Paragraaf 1.2 die een bit flipt. Wat gebeurt er als we twee bits hebben en we NOT alleen op de eerste toepassen? In dat geval moet het eerste bit geflipt worden terwijl het tweede bit hetzelfde moet blijven. Dit betekent dat de lokale NOT-bewerking op het eerste bit, die we zullen aanduiden met NOT1\mathrm{NOT}_{1}, als volgt werkt:

NOT1⁢[0⁢0]=[1⁢0],NOT1⁢[0⁢1]=[1⁢1],NOT1⁢[1⁢0]=[0⁢0],NOT1⁢[1⁢1]=[0⁢1].\mathrm{NOT}_{1}\,[{\color[rgb]{0,0,1}0}0]=[{\color[rgb]{0,0,1}1}0],\quad% \mathrm{NOT}_{1}\,[{\color[rgb]{0,0,1}0}1]=[{\color[rgb]{0,0,1}1}1],\quad% \mathrm{NOT}_{1}\,[{\color[rgb]{0,0,1}1}0]=[{\color[rgb]{0,0,1}0}0],\quad% \mathrm{NOT}_{1}\,[{\color[rgb]{0,0,1}1}1]=[{\color[rgb]{0,0,1}0}1]. (3.6)

Op dezelfde manier, als we alleen NOT toepassen op het tweede bit, werkt de resulterende bewerking NOT2\mathrm{NOT}_{2} als volgt:

NOT2⁢[0⁢0]=[0⁢1],NOT2⁢[0⁢1]=[0⁢0],NOT2⁢[1⁢0]=[1⁢1],NOT2⁢[1⁢1]=[1⁢0].\mathrm{NOT}_{2}\,[0{\color[rgb]{1,0,0}0}]=[0{\color[rgb]{1,0,0}1}],\quad% \mathrm{NOT}_{2}\,[0{\color[rgb]{1,0,0}1}]=[0{\color[rgb]{1,0,0}0}],\quad% \mathrm{NOT}_{2}\,[1{\color[rgb]{1,0,0}0}]=[1{\color[rgb]{1,0,0}1}],\quad% \mathrm{NOT}_{2}\,[1{\color[rgb]{1,0,0}1}]=[1{\color[rgb]{1,0,0}0}]. (3.7)

Wat we zojuist beschreven hebben zijn lokale NOT-bewerkingen op deterministische bits. Hoe moeten we ze uitbreiden naar probabilistische bits? Denk terug aan Paragraaf 1.2.1, waar staat dat elke bewerking die volledig gedefinieerd is op deterministische bits kan worden uitgebreid door lineariteit naar probabilistische bits. Als voorbeeld: NOT2\mathrm{NOT}_{2} werkt als volgt op twee probabilistische bits:

NOT2(\displaystyle\mathrm{NOT}_{2}\,\bigl{(} p00[00]+p01[01]+p10[10]+p11[11])\displaystyle p_{00}[0{\color[rgb]{1,0,0}0}]+p_{01}[0{\color[rgb]{1,0,0}1}]+p_% {10}[1{\color[rgb]{1,0,0}0}]+p_{11}[1{\color[rgb]{1,0,0}1}]\bigr{)}
=\displaystyle={} p00⁢[0⁢1]+p01⁢[0⁢0]+p10⁢[1⁢1]+p11⁢[1⁢0]\displaystyle p_{00}[0{\color[rgb]{1,0,0}1}]+p_{01}[0{\color[rgb]{1,0,0}0}]+p_% {10}[1{\color[rgb]{1,0,0}1}]+p_{11}[1{\color[rgb]{1,0,0}0}]
=\displaystyle={} p01⁢[0⁢0]+p00⁢[0⁢1]+p11⁢[1⁢0]+p10⁢[1⁢1],\displaystyle p_{01}[0{\color[rgb]{1,0,0}0}]+p_{00}[0{\color[rgb]{1,0,0}1}]+p_% {11}[1{\color[rgb]{1,0,0}0}]+p_{10}[1{\color[rgb]{1,0,0}1}],

waarbij we in de eerste stap Vgl. 3.7 gebruikten en in de tweede stap alleen de termen in de gebruikelijke volgorde hebben gezet. Je kunt dit ook schrijven in de 4-vector notatie, maar dat is iets minder intuïtief:

NOT2⁢(p00p01p10p11)=(p01p00p11p10).\mathrm{NOT}_{2}\begin{pmatrix}p_{00}\\ p_{01}\\ p_{10}\\ p_{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{01}\\ p_{00}\\ p_{11}\\ p_{10}\end{pmatrix}. (3.8)
Oefenopgave 3.1 ( NOT1\mathrm{NOT}_{1} in de 4-vector notatie (optioneel) ).

Noteer, net als bij Vgl. 3.8, de werking van NOT1\mathrm{NOT}_{1} op twee probabilistische bits in de 4-vector notatie.

Solution.
NOT1⁢(p00p01p10p11)=(p10p11p00p01).\displaystyle\mathrm{NOT}_{1}\begin{pmatrix}p_{00}\\ p_{01}\\ p_{10}\\ p_{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{10}\\ p_{11}\\ p_{00}\\ p_{01}\end{pmatrix}.

Om een enkele-bitbewerking in Quirky toe te passen, zetten we het bijbehorende vakje op ofwel de eerste of de tweede draad. De volgende reeks bewerkingen maakt bijvoorbeeld de toestand [10][10] en toont de uitkomstwaarschijnlijkheden bij het meten van beide bits:

[Uncaptioned image]

Dit is logisch omdat de onderste draad in Quirky overeenkomt met het eerste bit.

Op dezelfde manier, als we eerst één bit omdraaien en dan de andere, is het resultaat de toestand [11][11]:

[Uncaptioned image]

Het is duidelijk dat de volgorde waarin we de twee NOT-bewerkingen toepassen er niet toe doet. Dit betekent dat we ze ook parallel kunnen toepassen:

[Uncaptioned image]

We kunnen op dezelfde manier random-bewerkingen toepassen op een van de bits. Stel bijvoorbeeld dat we op het eerste bit de bewerking R⁢(r)R(r) toepassen die een bit reset met kans rr (Vgl. 1.27). Aangezien R⁢(r)⁢[0]=[0]R(r)[0]=[0], geldt dat

R⁢(r)1⁢[0⁢0]=[0⁢0],R⁢(r)1⁢[0⁢1]=[0⁢1].\displaystyle R(r)_{1}[{\color[rgb]{0,0,1}0}0]=[{\color[rgb]{0,0,1}0}0],\qquad R% (r)_{1}[{\color[rgb]{0,0,1}0}1]=[{\color[rgb]{0,0,1}0}1]. (3.9)

En omdat R⁢(r)⁢[1]=r⁢[0]+(1−r)⁢[1]R(r)[1]=r[0]+(1-r)[1], volgt dat

R⁢(r)1⁢[1⁢0]=r⁢[0⁢0]+(1−r)⁢[1⁢0],R⁢(r)1⁢[1⁢1]=r⁢[0⁢1]+(1−r)⁢[1⁢1].\displaystyle R(r)_{1}[{\color[rgb]{0,0,1}1}0]=r[{\color[rgb]{0,0,1}0}0]+(1-r)% [{\color[rgb]{0,0,1}1}0],\qquad R(r)_{1}[{\color[rgb]{0,0,1}1}1]=r[{\color[rgb% ]{0,0,1}0}1]+(1-r)[{\color[rgb]{0,0,1}1}1]. (3.10)

Als we bijvoorbeeld de toestand [11][11] klaarmaken en R⁢(1/3)R(1/3) toepassen op het eerste bit, krijgen we

R⁢(1/3)1⁢[11]=13⁢[01]+23⁢[11],\displaystyle R(1/3)_{1}[11]=\frac{1}{3}[01]+\frac{2}{3}[11], (3.11)

zoals Quirky ook bevestigt:

[Uncaptioned image]

Hier is een nog interessanter voorbeeld, dat je in de onderstaande opdracht kunt bekijken:

[Uncaptioned image]
\href https://www.quantum-quest.org/quirky/QuirkyQuest3P.html#circuit=%7B%22% cols%22%3A%5B%5B%22NOT%22%2C%22NOT%22%5D%2C%5B%22~d1kc%22%2C%22~d1kc%22%5D%2C%% 5B%22Chance2%22%5D%5D%2C%22gates%22%3A%5B%7B%22id%22%3A%22~d1kc%22%2C%22name%2% 2%3A%22R(1%2F3)%22%2C%22matrix%22%3A%22%7B%7B1%2C0.3333333%7D%2C%7B0%2C0.66666% 67%7D%7D%22%7D%5D%7D (3.12)
Huiswerkopdracht 3.1 (R⁢(r)R(r) op het tweede bit).
  1. 1.
    ​

    Schrijf formules op voor R⁢(r)2R(r)_{2} , analoog aan Vgl. 3.9 en 3.10.

  2. 2.
    ​

    Leg uit waarom Quirky het juiste antwoord geeft in (3.12).

Hack.
  1. 1.
    R⁢(r)2⁢[0⁢0]=[0⁢0],\displaystyle R(r)_{2}[0{\color[rgb]{0,0,1}0}]=[0{\color[rgb]{0,0,1}0}],\qquad R⁢(r)2⁢[1⁢0]=[1⁢0],\displaystyle R(r)_{2}[1{\color[rgb]{0,0,1}0}]=[1{\color[rgb]{0,0,1}0}],
    R⁢(r)2⁢[0⁢1]=q⁢[0⁢0]+(1−q)⁢[0⁢1],\displaystyle R(r)_{2}[0{\color[rgb]{0,0,1}1}]=q[0{\color[rgb]{0,0,1}0}]+(1-q)% [0{\color[rgb]{0,0,1}1}],\qquad R⁢(r)2⁢[1⁢1]=q⁢[1⁢0]+(1−q)⁢[1⁢1].\displaystyle R(r)_{2}[1{\color[rgb]{0,0,1}1}]=q[1{\color[rgb]{0,0,1}0}]+(1-q)% [1{\color[rgb]{0,0,1}1}]. (3.13)
  2. 2.
    ​

    We start out with [00][00] and flip both bits, resulting in [11][11]. Next, we apply the operation R⁢(1/3)R(1/3) to the first bit, say. We already saw in Vgl. 3.11 that the result is

    R⁢(1/3)1⁢[11]=13⁢[01]+23⁢[11].\displaystyle R(1/3)_{1}[11]=\frac{1}{3}[01]+\frac{2}{3}[11].

    Finally, we apply R⁢(1/3)R(1/3) to the second bit. By linearity,

    R⁢(1/3)2⁢(13⁢[01]+23⁢[11])\displaystyle R(1/3)_{2}\left(\frac{1}{3}[01]+\frac{2}{3}[11]\right) =13⁢R⁢(1/3)2⁢[01]+23⁢R⁢(1/3)2⁢[11],\displaystyle=\frac{1}{3}R(1/3)_{2}[01]+\frac{2}{3}R(1/3)_{2}[11],
    and now we can use the formulas derived in Vgl. 3.13:
    =13⁢(13⁢[00]+23⁢[01])+23⁢(13⁢[10]+23⁢[11])\displaystyle=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}[00]+\frac{2}{3}[01]\right)+\frac{2}% {3}\left(\frac{1}{3}[10]+\frac{2}{3}[11]\right)
    =19⁢[00]+29⁢[01]+29⁢[10]+49⁢[11]\displaystyle=\frac{1}{9}[00]+\frac{2}{9}[01]+\frac{2}{9}[10]+\frac{4}{9}[11]
    ≈(11.1%22.2%22.2%44.4%),\displaystyle\approx\begin{pmatrix}11.1\%\\ 22.2\%\\ 22.2\%\\ 44.4\%\end{pmatrix},

    which is exactly what Quirky showed.