3.1.7 Productverdelingen

Laten we nu in wat meer detail kijken naar de toestanden van een twee-bits systeem. Stel bijvoorbeeld dat we twee probabilistische bits hebben, $q=q_{0}[0]+q_{1}[1]$ en $r=r_{0}[0]+r_{1}[1]$ . Hoe kunnen we hieruit een toestand van een twee-bits systeem opbouwen? Ook al hebben we het niet uitdrukkelijk zo gezegd, hebben we deze vraag al besproken in Paragraaf 1.1.1, waar we de waarschijnlijkheid dat twee gebeurtenissen tegelijk plaatsvinden definieerden als het product van de waarschijnlijkheden van de twee afzonderlijke gebeurtenissen. Zo is bijvoorbeeld de waarschijnlijkheid dat de bits $q$ en $r$ in toestand $[00]$ zitten $q_{0}r_{0}$ . Op dezelfde manier geldt dat de kans dat ze in de toestand $[01]$ zitten $q_{0}r_{1}$ is. Als we rekening houden met alle vier de mogelijkheden, krijgen we

q_{0}r_{0}[00]+q_{0}r_{1}[01]+q_{1}r_{0}[10]+q_{1}r_{1}[11].

(3.22)

Met andere woorden, de vier kansen $p_{ab}$ van de gecombineerde toestand

p_{00}[00]+p_{01}[01]+p_{10}[10]+p_{11}[11]

worden gegeven door de formule

\displaystyle p_{ab}=q_{a}r_{b}.

(3.23)

Je kan nagaan dat de waarschijnlijkheden bij het meten van het eerste bit gegeven worden door $q$ , en die voor het tweede bit gegeven worden door $r$ (je kan dit doen door gebruik te maken van de regel uit Fig. 3.2 en het feit dat $r_{0}+r_{1}=1$ en $q_{0}+q_{1}=1$ ). Maar onze twee-bits toestand heeft nog een speciale eigenschap: de waarden van de twee bits zijn van elkaar onafhankelijk. Dit betekent dat als we een van de twee bits meten, we geen informatie over het andere bit te weten komen. Je kunt dit controleren in de volgende oefening:

Oefenopgave 3.5 ( Onafhankelijke bits (optioneel) ).

Stel dat we de eerste van de twee bits van de toestand (3.22) meten en de uitkomst $a\in\{0,1\}$ noemen. Laat zien dat de toestand van het tweede bit $r$ is, onafhankelijk van de meetuitkomst $a$ van het eerste bit. In andere woorden, het samenvoegen van de twee bits en vervolgens meten van het eerste bit heeft de toestand van het tweede bit helemaal niet beïnvloed (zoals het hoort)!

Solution.

Met behulp van Fig. 3.3 kan de toestand van het tweede bit na de meting als volgt worden berekend:

\displaystyle\frac{p_{a0}[0]+p_{a1}[1]}{p_{a0}+p_{a1}}=\frac{q_{a}r_{0}[0]+q_{% a}r_{1}[1]}{q_{a}r_{0}+q_{a}r_{1}}=\frac{r_{0}[0]+r_{1}[1]}{r_{0}+r_{1}}=r_{0}% [0]+r_{1}[1]=r,

waarbij we

q_{a}

hebben weggestreept en gebruikt hebben dat

r_{0}+r_{1}=1

Laten we wat notatie introduceren om de speciale structuur van deze toestand wat duidelijker te maken. Laten we ’ $\otimes$ ’ gebruiken om de bewerking aan te geven waarbij twee probabilistische bits samengevoegd worden en beschouwd worden als een enkel systeem bestaande uit twee bits:

\displaystyle q\otimes r=\big{\lparen}q_{0}[0]+q_{1}[1]\big{\rparen}\otimes% \big{\lparen}r_{0}[0]+r_{1}[1]\big{\rparen}

(3.24)

Het symbool ’ $\otimes$ ’ wordt het tensorproduct of Kroneckerproduct genoemd. Hoe kunnen we deze vreemde uitdrukking omzetten naar een werkelijke kansverdeling van twee bits, zoals in Vgl. 3.22? Merk ten eerste op dat voor deterministische bits de bewerking ’ $\otimes$ ’ simpelweg neerkomt op het samenvoegen van strings. Bijvoorbeeld,

[0]\otimes[1]=[01].

(3.25)

Dit is logisch omdat een bit in toestand $[0]$ en een andere bit in toestand $[1]$ hetzelfde is als twee bits in toestand $[01]$ . Om deze regel uit te breiden naar probabilistische bits, vragen we zoals altijd onze goede vriend lineariteit om hulp! Door lineariteit kunnen we de termen van Vgl. 3.24 uitschrijven en dan de samenvoegingsregel (Vgl. 3.25) toepassen:

	$\displaystyle\big{\lparen}q_{0}[0]+q_{1}[1]\big{\rparen}\otimes\big{\lparen}r_% {0}[0]+r_{1}[1]\big{\rparen}$
	$\displaystyle=q_{0}r_{0}\big{\lparen}[0]\otimes[0]\big{\rparen}+q_{0}r_{1}\big% {\lparen}[0]\otimes[1]\big{\rparen}+q_{1}r_{0}\big{\lparen}[1]\otimes[0]\big{% \rparen}+q_{1}r_{1}\big{\lparen}[1]\otimes[1]\big{\rparen}$
	$\displaystyle=q_{0}r_{0}[00]+q_{0}r_{1}[01]+q_{1}r_{0}[10]+q_{1}r_{1}[11].$

Merk op dat we weer de verdeling van Vgl. 3.22 hebben gekregen. Met andere woorden, we krijgen de volgende identiteit tussen (3.24) en (3.22):

\big{\lparen}q_{0}[0]+q_{1}[1]\big{\rparen}\otimes\big{\lparen}r_{0}[0]+r_{1}[% 1]\big{\rparen}=q_{0}r_{0}[00]+q_{0}r_{1}[01]+q_{1}r_{0}[10]+q_{1}r_{1}[11].

(3.26)

Dit betekent dat de manier waarop we het tensorproduct ’ $\otimes$ ’ hebben gedefinieerd inderdaad consistent is met onze eerdere redenering dat de kansverdeling van een twee-bits systeem wordt verkregen door de kansen van individuele bits te vermenigvuldigen, zie Vgl. 3.23.

Merk op dat Vgl. 3.26 erg lijkt op de distributiewet voor optellen en vermenigvuldigen:

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.

Het enige verschil is dat we in plaats van getallen vectoren hebben en in plaats van vermenigvuldiging de samenvoegingsregel $[a]\otimes[b]=[a,b]$ . Een belangrijk verschil tussen samenvoegen en vermenigvuldigen is dat de volgorde van elementen belangrijk is bij samenvoegen. Over het algemeen is $[a,b]\neq[b,a]$ omdat het samenvoegen van $[a]$ en $[b]$ niet hetzelfde is als het samenvoegen van $[b]$ en $[a]$ . Overigens kan je zelf controleren dat we het tensor product als volgt kunnen schrijven in vectornotatie:

\begin{pmatrix}q_{0}\\ q_{1}\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}r_{0}\\ r_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q_{0}\begin{pmatrix}r_{0}\\ r_{1}\end{pmatrix}\\ q_{1}\begin{pmatrix}r_{0}\\ r_{1}\end{pmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q_{0}r_{0}\\ q_{0}r_{1}\\ q_{1}r_{0}\\ q_{1}r_{1}\end{pmatrix},

waarbij de tweede uitdrukking een blokvector is waarvan beide elementen vectoren zijn.

Het tensorproduct geeft een snelle manier om te begrijpen wat er gebeurt in (3.12), wat we hier voor het gemak herhalen:

Merk op dat we elk bit onafhankelijk klaarzetten in de toestand $\frac{1}{3}[0]+\frac{2}{3}[1]$ . De gezamenlijke toestand van beide bits is dus

\displaystyle\left(\frac{1}{3}[0]+\frac{2}{3}[1]\right)\otimes\left(\frac{1}{3% }[0]+\frac{2}{3}[1]\right)=\frac{1}{9}[00]+\frac{2}{9}[01]+\frac{2}{9}[10]+% \frac{4}{9}[11]=\begin{pmatrix}1/9\\ 2/9\\ 2/9\\ 4/9\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}11.1\%\\ 22.2\%\\ 22.2\%\\ 44.4\%\end{pmatrix},

wat in overeenstemming is met Quirky.

Huiswerkopdracht 3.3 (Het tensorproduct).

Vind twee probabilistische bits $q$ en $r$ waarvoor geldt dat

q\otimes r=0.48[00]+0.32[01]+0.12[10]+0.08[11].

Hack.

Choose $q=0.8[0]+0.2[1]$ and $r=0.6[0]+0.4[1]$ . One can then simply check using Vgl. 3.22 that the product distribution $q\otimes r$ indeed coincides with the one supplied in the statement of the question:

	$\displaystyle\left(0.8[0]+0.2[1]\right)\otimes\left(0.6[0]+0.4[1]\right)$	$\displaystyle=0.8\cdot 0.6[00]+0.8\cdot 0.4[01]+0.2\cdot 0.6[10]+0.2\cdot 0.4[% 11]$
		$\displaystyle=0.48[00]+0.32[01]+0.12[10]+0.08[11]$

Met het tensorproduct kunnen we ook compactere formules schrijven voor lokale operaties. Als $M$ namelijk een bewerking op één bit is, dan is

\displaystyle M_{1}([a]\otimes[b])=M[a]\otimes[b],\qquad M_{2}([a]\otimes[b])=% [a]\otimes M[b].

(3.27)

Dit komt overeen met de formules uit Paragraaf 3.1.2.

Omdat de hierboven beschreven twee-bit verdelingen verkregen worden door het product te nemen van twee een-bit verdelingen, $p=q\otimes r$ , worden ze producttoestanden of productverdelingen genoemd. Zoals je hebt gezien in 3.5, zijn productverdelingen een ideaal model voor een situatie waarin twee bits onafhankelijk van elkaar ontstaan, zoals bij het gooien van twee munten. Maar is elke verdeling van twee bits een productverdeling? Interessant genoeg is dat niet het geval, zoals we in de volgende stuk zullen zien.