3.1.5 De SWAP-bewerking

Nu we weten hoe we individuele probabilistische bits kunnen manipuleren, willen we ook bewerkingen toepassen op meerdere bits tegelijk. Een van de eenvoudigste bewerkingen is de SWAP\mathrm{SWAP}-bewerking die twee bits verwisselt:

SWAP⁢[00]\displaystyle\mathrm{SWAP}\,[00] =[00],\displaystyle=[00],
SWAP⁢[01]\displaystyle\mathrm{SWAP}\,[01] =[10],\displaystyle=[10],
SWAP⁢[10]\displaystyle\mathrm{SWAP}\,[10] =[01],\displaystyle=[01],
SWAP⁢[11]\displaystyle\mathrm{SWAP}\,[11] =[11].\displaystyle=[11].

SWAP\mathrm{SWAP} komt in feite neer op het omwisselen van de strings [01][01] en [10][10] , terwijl de andere twee strings met rust worden gelaten. De bovenstaande vergelijkingen kunnen als volgt beknopter geschreven worden:

SWAP⁢[a,b]=[b,a],\mathrm{SWAP}\,[a,b]=[b,a], (3.18)

voor alle a,b∈{0,1}a,b\in\{0,1\}, waarbij we een komma gebruiken om de twee bits te onderscheiden. Zoals gebruikelijk kunnen we SWAP\mathrm{SWAP} uitbreiden van deterministische naar probabilistische bits door lineariteit:

SWAP(\displaystyle\mathrm{SWAP}\,\bigl{(} p00[00]+p01[01]+p10[10]+p11[11])\displaystyle p_{00}[00]+p_{01}[01]+p_{10}[10]+p_{11}[11]\bigr{)}
=\displaystyle={} p00⁢[00]+p01⁢[10]+p10⁢[01]+p11⁢[11]\displaystyle p_{00}[00]+p_{01}[10]+p_{10}[01]+p_{11}[11]
=\displaystyle={} p00⁢[00]+p10⁢[01]+p01⁢[10]+p11⁢[11].\displaystyle p_{00}[00]+p_{10}[01]+p_{01}[10]+p_{11}[11].
Oefenopgave 3.3 ( SWAP\mathrm{SWAP} in de 4-vector notatie (optioneel) ).

Schrijf de werking van SWAP\mathrm{SWAP} op twee probabilistische bits op in de 4-vector notatie.

Solution.
SWAP⁢(p00p01p10p11)=(p00p10p01p11).\displaystyle\mathrm{SWAP}\begin{pmatrix}p_{00}\\ p_{01}\\ p_{10}\\ p_{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{00}\\ p_{10}\\ p_{01}\\ p_{11}\end{pmatrix}.