3.2 Zwei Quantenbits

Wir können zwei Quantenbits ähnlich wie zwei probabilistische Bits beschreiben. Der größte Unterschied liegt wieder darin, dass wir mit Amplituden anstelle von Wahrscheinlichkeiten arbeiten, wobei diese wieder negativ sein können und anders normalisiert werden (siehe Abschnitt 2.1.1). Ein allgemeiner Zwei-Qubit-Zustand sieht dann so aus:

|ψ⟩=ψ00⁢|00⟩+ψ01⁢|01⟩+ψ10⁢|10⟩+ψ11⁢|11⟩\left|\psi\right\rangle=\psi_{00}\left|00\right\rangle+\psi_{01}\left|01\right% \rangle+\psi_{10}\left|10\right\rangle+\psi_{11}\left|11\right\rangle (3.31)

wobei ψi⁢j∈[−1,1]\psi_{ij}\in[-1,1] und

ψ002+ψ012+ψ102+ψ112=1.\psi_{00}^{2}+\psi_{01}^{2}+\psi_{10}^{2}+\psi_{11}^{2}=1.

Wir schreiben nun |a,b⟩\left|a,b\right\rangle anstelle von [a,b][a,b], um klarzustellen, dass es sich um Quantenbits und nicht probabilistische Bits handelt. Genau wie wir in Gl. 3.3 die Basiszustände von zwei probabilistischen Bits festgestellt haben, können wir die vier Basisvektoren von |a,b⟩\left|a,b\right\rangle identifizieren:

|00⟩=(1000),|01⟩=(0100),|10⟩=(0010),|11⟩=(0001).\displaystyle\left|00\right\rangle=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\qquad\left|01\right\rangle=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\qquad\left|10\right\rangle=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\qquad\left|11\right\rangle=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}. (3.48)

Genau wie in Gl. 3.1, können wir dann den allgemeinen Zwei-Qubit-Zustand aus Gl. 3.31 auch als 4-Vektor schreiben:

(ψ00ψ01ψ10ψ11).\begin{pmatrix}\psi_{00}\\ \psi_{01}\\ \psi_{10}\\ \psi_{11}\end{pmatrix}.

Diese Vektoren werden aber recht schnell unhandlich, weshalb wir hauptsächlich die |a,b⟩\left|a,b\right\rangle Schreibweise aus Gl. 3.31 verwenden.

Diese Notation vereinfacht auch das Zusammenfassen mehrerer Quantensysteme. In Abschnitt 3.1.7 haben wir das Tensorprodukt „⊗\otimes“genutzt, um zwei unabhängige probabilistische Bits zu einem Zwei-Bit-System zu kombinieren. Die gleiche Operation (nur, dass wir [a][a] durch |a⟩\left|a\right\rangle ersetzen) können wir auch auf Qubits anwenden. Insbesondere können wir die Basisvektoren wieder wie auch schon in Gl. 3.25 zusammensetzen:

|0⟩⊗|0⟩=|00⟩,|0⟩⊗|1⟩=|01⟩,|1⟩⊗|0⟩=|10⟩,|1⟩⊗|1⟩=|11⟩.\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle=\left|00\right\rangle,\qquad% \left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle=\left|01\right\rangle,\qquad% \left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle=\left|10\right\rangle,\qquad% \left|1\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle=\left|11\right\rangle. (3.49)

Beachte, dass das dem aneinanderreihen der Zeichenketten entspricht. Das gibt uns eine alternative Möglichkeit, die vier Basisvektoren in Gl. 3.48 zu betrachten.

Wir können das Tensorprodukt wie folgt auf beliebige Ein-Qubit-Zustände |α⟩=α0⁢|0⟩+α1⁢|1⟩\left|\alpha\right\rangle=\alpha_{0}\left|0\right\rangle+\alpha_{1}\left|1\right\rangle und |β⟩=β0⁢|0⟩+β1⁢|1⟩\left|\beta\right\rangle=\beta_{0}\left|0\right\rangle+\beta_{1}\left|1\right\rangle erweitern:

|α⟩⊗|β⟩\displaystyle\left|\alpha\right\rangle\otimes\left|\beta\right\rangle =(α0⁢|0⟩+α1⁢|1⟩)⊗(β0⁢|0⟩+β1⁢|1⟩)\displaystyle=\lparen\alpha_{0}\left|0\right\rangle+\alpha_{1}\left|1\right% \rangle\rparen\otimes\lparen\beta_{0}\left|0\right\rangle+\beta_{1}\left|1% \right\rangle\rparen (3.50)
=α0⁢β0⁢|00⟩+α0⁢β1⁢|01⟩+α1⁢β0⁢|10⟩+α1⁢β1⁢|11⟩.\displaystyle=\alpha_{0}\beta_{0}\left|00\right\rangle+\alpha_{0}\beta_{1}% \left|01\right\rangle+\alpha_{1}\beta_{0}\left|10\right\rangle+\alpha_{1}\beta% _{1}\left|11\right\rangle.

Zwei-Qubit-Zustände dieser Form nennen wir Produktzustände. In Abschnitt 3.2.3 werden wir sehen, wie man solche Zustände durch Quantenoperationen herstellt. Wichtig ist, dass wie auch bei probabilistischen Bits, nicht alle Zwei-Qubit-Zustände Produktzustände sind.

Übungsaufgabe 3.7 ( Tensorprodukt und Produktzustände ).

Erinnere dich an die Zustände |+⟩\left|+\right\rangle und |−⟩\left|-\right\rangle aus 2.1.

  1. 1.
    ​

    Schreibe |+⟩⊗|−⟩\left|+\right\rangle\otimes\left|-\right\rangle in der Form aus Gl. 3.31.

  2. 2.
    ​

    Ist der Zustand 12⁢(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)\frac{1}{2}\left(\left|00\right\rangle+\left|01\right\rangle+\left|10\right% \rangle+\left|11\right\rangle\right) ein Produktzustand?

Lösung.
  1. 1.
    |+⟩⊗|−⟩=\displaystyle\left|+\right\rangle\otimes\left|-\right\rangle= (12⁢|0⟩+12⁢|1⟩)⊗(12⁢|0⟩−12⁢|1⟩)\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}% \left|1\right\rangle\right)\otimes\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle% -\frac{1}{\sqrt{2}}\left|1\right\rangle\right)
    =\displaystyle= 12⁢|00⟩−12⁢|01⟩+12⁢|10⟩−12⁢|11⟩.\displaystyle\frac{1}{2}\left|00\right\rangle-\frac{1}{2}\left|01\right\rangle% +\frac{1}{2}\left|10\right\rangle-\frac{1}{2}\left|11\right\rangle.
  2. 2.
    12⁢(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)=12⁢(|0⟩+|1⟩)⊗12⁢(|0⟩+|1⟩)=|+⟩⊗|+⟩.\displaystyle\frac{1}{2}(\left|00\right\rangle+\left|01\right\rangle+\left|10% \right\rangle+\left|11\right\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\left|0\right\rangle+% \left|1\right\rangle)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}(\left|0\right\rangle+\left|1% \right\rangle)=\left|+\right\rangle\otimes\left|+\right\rangle.
    ​

    Es handelt sich also tatsächlich um einen Produktzustand.

Im Folgenden werden wir lernen, welche Regeln beim Messen und Manipulieren von zwei Qubits gelten. Zwar sind diese Regeln analog zu den bekannten Regeln von zwei probabilistischen Bits, aber dennoch werden wir neue und unerwartete Phänomene entdecken. Erfreulicherweise hilft uns Quirky bei dieser Quest, die Welt der Zwei-Qubit-Systeme zu erkunden. Um zu starten, besuche

https://www.quantum-quest.org/quirky

und klicke auf “Quest 3” und anschließend auf “Two Qubits”. Dein Browser sollte dann in etwa wie in Abb. 3.4 aussehen. Im Vergleich zu letzter Woche hat Quirky zwei Quantenbits die im Zustand |00⟩\left|00\right\rangle starten. Außerdem gibt es drei neue Boxen in der Toolbox: ZZ, HH, und ∙\bullet (außerdem fehlt die Mysteriöse Box). Im Laufe dieses Kapitels werden wir diese Operationen besprechen.

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Abbildung 3.4: Quirky für Quest 3.