2.1.1 Wahrscheinlichkeiten versus Amplituden

Quantenbits sind probabilistischen Bits sehr ähnlich, es gibt nur zwei große Unterschiede:

1. 1.
   ​

   Wahrscheinlichkeiten werden durch Amplituden ersetzt (welche auch negativ sein können),

2. 2.
   ​

   Amplituden werden während dem Messen quadriert (Wahrscheinlichkeiten dagegen nicht).

Auf diese Unterschiede werden wir in Kürze mit mehr Detail eingehen, aber zunächst schauen wir uns einmal die möglichen Zustände eines Qubits an. Erinnerst du dich, wie wir die zwei Seiten einer Münze genutzt haben, um zwei deterministische Zustände eines probabilistischen Bits zu beschreiben (siehe Abb. 1.1)? In der Quanteninformatik werden diese zwei Zustände meistens $\left|0\right\rangle$ und $\left|1\right\rangle$ genannt, um sie von den klassischen Bits $[0]$ und $[1]$ zu unterscheiden. Genau wie bei probabilistischen Bits kann der Zustand eines Qubits $\left|\psi\right\rangle$ als Linearkombination, oder auch Superposition, dieser zwei deterministischen Zustände geschrieben werden:

Hier ist der griechische Buchstabe $\psi$ (ausgesprochen: “psi”) der Name des Zustands (genau wie wir das probabilistischen Bit $p$ genannt haben). Die Klammern $\left|\cdot\right\rangle$ bilden dabei eine sogenannte “ket”-form (vom engl. bracket für “Klammer”), die zeigt, dass wir mit einem Quantenzustand rechnen. Zum Vergleich kannst du dir in Gl. 1.7 noch einmal ansehen, dass ein beliebiges probabilistisches Bit $p$ wie folgt geschrieben werden kann:

Beachte, dass Gl. 2.1 identisch aussieht, außer, dass die Wahrscheinlichkeiten $p_{0}$ und $p_{1}$ durch die Amplituden $\psi_{0}$ und $\psi_{1}$, sowie die klassische Notation $[0]$ und $[1]$ durch die Quanten Notation $\left|0\right\rangle$ und $\left|1\right\rangle$ ersetzt wurden! Es gibt allerdings einen wichtigen Unterschied: Während für die Wahrscheinlichkeiten aus Gl. 2.2 folgendes gilt,

gilt für die Amplituden

Daraus folgt insbesondere $\psi_{0}^{2}\leq 1$ und $\psi_{1}^{2}\leq 1$ und damit $\psi_{0},\psi_{1}\in[-1,1]$. Im Gegensatz dazu folgt aus den Bedingungen für Wahrscheinlichkeiten in Gl. 2.3, dass $p_{0},p_{1}\in[0,1]$. Der entscheidende Unterschied ist dabei, dass Amplituden negativ sein dürfen, Wahrscheinlichkeiten dagegen nicht!

Genau wie bei probabilistischen Bits, ist es sinnvoll Zustände als Vektoren darzustellen. Analog zu Gl. 1.6 stellen wir die deterministischen Qubit Zustände $\left|0\right\rangle$ und $\left|1\right\rangle$ durch die zwei Basisvektoren dar:

Damit ist ein allgemeiner Quantenzustand $\left|\psi\right\rangle$ aus Gl. 2.1 dargestellt als