2.5 Quantenzustände unterscheiden

Alice schaut einen Wettbewerb mit Eselsrobotern und schreibt auf, ob ihr Lieblingsroboter gewinnt: eine 11 falls er gewinnt, ansonsten eine 0. Diese Information könnte sie auch in einem Qubit kodieren: sie versetzt das Qubit in den Zustand |ψ⁢(θ0)⟩\left|\psi(\theta_{0})\right\rangle, falls der Roboter verliert und in Zustand |ψ⁢(θ1)⟩\left|\psi(\theta_{1})\right\rangle falls er gewinnt. Das erreicht sie, indem sie entweder U⁢(θ0)U(\theta_{0}) oder U⁢(θ1)U(\theta_{1}) auf einen Qubit im Zustand |0⟩\left|0\right\rangle anwendet, wie in Gl. 2.27. Jetzt nehmen wir an, Alice gibt das Qubit an Bob weiter. Kann Bob nur anhand des Qubits raten, welchen Bitwert (0 oder 1) Alice in dem Qubit kodiert hat? Wäre es besser, wenn Bob zuerst eine Rotation oder Spiegelung ausführen könnte? In der folgenden Übungsaufgabe kannst du diese Prinzipien einmal ausprobieren.

Übungsaufgabe 2.6 (Plus und Minus).

Stell dir vor, jemand gibt dir ein Qubit in einem der folgenden Zustände:

|+⟩=|0⟩+|1⟩2,|−⟩=|0⟩−|1⟩2.\left|+\right\rangle=\frac{\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle}{\sqrt{2}% },\qquad\left|-\right\rangle=\frac{\left|0\right\rangle-\left|1\right\rangle}{% \sqrt{2}}.

Du willst erraten, in welchem der beiden Zustände es sich befindet. Du darfst eine Rotation anwenden und danach messen. Um welchen Winkel solltest du rotieren und mit welcher Wahrscheinlichkeit rätst du korrekt?

Lösung. Wende U⁢(−π/4)U(-\pi/4) an und messe. Du kannst die Zustände mit Sicherheit erraten!

Wenn du verschiedene Bitwerte durch verschiedene Quantenzustände darstellen willst, musst du aufpassen, dass du nicht |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle und |ψ⁢(θ+π)⟩\left|\psi(\theta+\pi)\right\rangle nutzt, da diese nicht unterschieden werden können.

Übungsaufgabe 2.7 (Ununterscheidbare Zustände).

Zeige, dass die beiden Zustände |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle und |ψ⁢(θ+π)⟩=−|ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta+\pi)\right\rangle=-\left|\psi(\theta)\right\rangle nicht unterschieden werden können. Also, dass egal welche Qubit-Operationen du anwendest, bevor du misst, die Messergebnisse immer gleich wahrscheinlich sein werden.

Lösung. Wir haben bereits gesehen, dass jede Kombination MM an Rotationen und Spiegelungen linear ist. Damit folgt aus M⁢|ψ⁢(θ)⟩=|ψ⁢(θ′)⟩=(cos⁡θ′sin⁡θ′)M\left|\psi(\theta)\right\rangle=\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle=% \bigl{(}\begin{smallmatrix}\cos\theta^{\prime}\\ \sin\theta^{\prime}\end{smallmatrix}\bigr{)}, dass M⁢(−|ψ⁢(θ)⟩)=−|ψ⁢(θ′)⟩=(−cos⁡θ′−sin⁡θ′)M\big{\lparen}-\left|\psi(\theta)\right\rangle\big{\rparen}=-\left|\psi(\theta% ^{\prime})\right\rangle=\bigl{(}\begin{smallmatrix}-\cos\theta^{\prime}\\ -\sin\theta^{\prime}\end{smallmatrix}\bigr{)}. Nach Gl. 2.6 sind die Wahrscheinlichkeiten p0p_{0} und p1p_{1} der Messergebnisse für beide Zustände gleich.

Es ist recht aufschlussreich, die beiden 2.6 und 2.7 zu vergleichen. Wenn sich zwei Zustände durch ein allgemeines Minuszeichen unterscheiden, sind sie ununterscheidbar, wie in 2.7. Die beiden Vektoren ±|ψ⁢(θ)⟩\pm\left|\psi(\theta)\right\rangle beschreiben, praktisch gesehen, den selben Zustand. Im Gegensatz dazu sind ‘relative’ Minuszeichen wichtig und können sogar zu perfekt unterscheidbaren Zuständen führen!

In der folgenden Hausaufgabe kannst du herausfinden, wie man zwei beliebige Quantenzustände optimal unterscheidet.

Hausaufgabe 2.5 (Zwei Zustände unterscheiden).

Seien θ,θ′\theta,\theta^{\prime} zwei Winkel. Nimm der Einfachheit halber an, dass −π2≤θ≤θ′≤π2-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\theta^{\prime}\leq\frac{\pi}{2}. Angenommen, Eve gibt dir ein einzelnes Qubit, welches sich jeweils mit 50% Wahrscheinlichkeit in Zustand |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle oder |ψ⁢(θ′)⟩\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle befindet. (Sie könnte beispielsweise eine faire Münze werfen, um zu entscheiden, in welchem Zustand sich das Qubit befinden soll.) Deine Aufgabe ist es nun, herauszufinden, welchen Zustand das Qubit hat. In ein paar Schritten wirst du die optimale Strategie finden:

  1. 1.
    ​

    Wende zunächst die Rotation U⁢(ϕ)U(\phi) um einen Winkel ϕ\phi an. Welche zwei möglichen Zustände erhältst du dann?

  2. 2.
    ​

    Führe als nächstes eine Quantenmessung durch und interpretiere das Ergebnis wie folgt: Falls das Ergebnis 0 ist, rätst du, dass das Qubit in Zustand |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle war, ansonsten rätst du den Zustand |ψ⁢(θ′)⟩\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle. Mit welcher Wahrscheinlichkeit identifizierst du den Zustand korrekt? Schreibe eine Formel mit den Variablen θ,θ′\theta,\theta^{\prime} und ϕ\phi.

    Hinweis: Berechne zunächst die Erfolgswahrscheinlichkeit, angenommen du hast den ersten Zustand bekommen. Dann die Erfolgswahrscheinlichkeit, angenommen du hast den zweiten Zustand bekommen. Und dann erinnere dich daran, dass beide mit Wahrscheinlichkeit 50%50\% auftreten.

  3. 3.
    ​

    Du kannst den Rotationswinkel ϕ\phi immer noch clever wählen. Was ist die Erfolgswahrscheinlichkeit als Funktion von θ\theta und θ′\theta^{\prime}, wenn du ϕ\phi optimal wählst?

    Hinweis: Versuche die trigonometrischen Identitäten aus Gl. 2.30 zu verwenden. Insbesondere kannst du mit diesen zeigen, dass

    sin2⁡α=12⁢(1−cos⁡(2⁢α)),cos2⁡α=12⁢(1+cos⁡(2⁢α)).\sin^{2}\alpha=\frac{1}{2}\big{\lparen}1-\cos(2\alpha)\big{\rparen},\qquad\cos% ^{2}\alpha=\frac{1}{2}\big{\lparen}1+\cos(2\alpha)\big{\rparen}. (2.36)

    Wenn du nicht mehr weiter weißt, kannst du auch Wolfram Alpha nutzen.

Hack.
  1. 1.
    ​

    If we started out in the state |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle then we obtain the following state after rotating:

    U⁢(ϕ)⁢|ψ⁢(θ)⟩=|ψ⁢(θ+ϕ)⟩=(cos⁡(θ+ϕ)sin⁡(θ+ϕ)).U(\phi)\left|\psi(\theta)\right\rangle=\left|\psi(\theta+\phi)\right\rangle=% \begin{pmatrix}\cos(\theta+\phi)\\ \sin(\theta+\phi)\end{pmatrix}.

    If instead the state |ψ⁢(θ′)⟩\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle was handed to us then we obtain the following state:

    U⁢(ϕ)⁢|ψ⁢(θ′)⟩=|ψ⁢(θ′+ϕ)⟩=(cos⁡(θ′+ϕ)sin⁡(θ′+ϕ)).U(\phi)\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle=\left|\psi(\theta^{\prime}+% \phi)\right\rangle=\begin{pmatrix}\cos(\theta^{\prime}+\phi)\\ \sin(\theta^{\prime}+\phi)\end{pmatrix}.
  2. 2.
    ​

    First of all, we calculate the probability that we guess correctly if we are handed the state |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle. In this case, the probability of indeed measuring 0 is given by:

    cos2⁡(θ+ϕ).\cos^{2}(\theta+\phi).

    Similarly, the probability of guessing 11 when starting out with state |ψ⁢(θ′)⟩\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle is given by:

    sin2⁡(θ′+ϕ).\sin^{2}(\theta^{\prime}+\phi).

    As both initial states are given with equal probability, the total success probability is the average of these two success probabilities:

    12⁢(cos2⁡(θ+ϕ)+sin2⁡(θ′+ϕ)).\frac{1}{2}\left(\cos^{2}(\theta+\phi)+\sin^{2}(\theta^{\prime}+\phi)\right).
  3. 3.
    ​

    We want to find the value of ϕ\phi that maximizes the above expression. To that end, we rewrite it using some trigonometric identities:

    12⁢(cos2⁡(θ+ϕ)+sin2⁡(θ′+ϕ))\displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos^{2}(\theta+\phi)+\sin^{2}(\theta^{\prime}+% \phi)\right) =14+14⁢cos⁡(2⁢(θ+ϕ))+14−14⁢cos⁡(2⁢(θ′+ϕ))\displaystyle=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cos(2(\theta+\phi))+\frac{1}{4}-\frac{1}% {4}\cos(2(\theta^{\prime}+\phi))
    =12+12⁢sin⁡(θ+θ′+2⁢ϕ)⁢sin⁡(θ′−θ),\displaystyle=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sin(\theta+\theta^{\prime}+2\phi)\sin(% \theta^{\prime}-\theta),

    where the second line follows from 12⁢(cos⁡(2⁢α)−cos⁡(2⁢β))=sin⁡(β+α)⁢sin⁡(β−α)\frac{1}{2}(\cos(2\alpha)-\cos(2\beta))=\sin(\beta+\alpha)\sin(\beta-\alpha). Note that sin⁡(θ′−θ)≥0\sin(\theta^{\prime}-\theta)\geq 0, since θ′>θ\theta^{\prime}>\theta and both angles are in the interval [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2]. Hence, the maximum is attained when θ+θ′+2⁢ϕ=π/2\theta+\theta^{\prime}+2\phi=\pi/2, which yields:

    ϕ=π4−θ+θ′2.\phi=\frac{\pi}{4}-\frac{\theta+\theta^{\prime}}{2}.

    The success probability is therefore

    12+12⁢sin⁡(π/2)⁢sin⁡(θ′−θ)=12+12⁢sin⁡(θ′−θ).\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sin(\pi/2)\sin(\theta^{\prime}-\theta)=\frac{1}{2}+% \frac{1}{2}\sin(\theta^{\prime}-\theta).

If you are interested, here is some intuitive explanation of how this procedure works: The rotation M=U⁢(π/4−(θ+θ′)/2)M=U(\pi/4-(\theta+\theta^{\prime})/2) rotates the state |ψ⁢(θ+θ′2)⟩\left|\psi(\frac{\theta+\theta^{\prime}}{2})\right\rangle whose angle is the average of the two angles to the state |ψ⁢(π/4)⟩\left|\psi(\pi/4)\right\rangle, since

U⁢(π4−θ+θ′2)⁢|ψ⁢(θ+θ′2)⟩=|ψ⁢(θ+θ′2+π4−θ+θ′2)⟩=|ψ⁢(π/4)⟩.U\left\lparen\frac{\pi}{4}-\frac{\theta+\theta^{\prime}}{2}\right\rparen\left|% \psi\left\lparen\frac{\theta+\theta^{\prime}}{2}\right\rparen\right\rangle=% \left|\psi\left\lparen\frac{\theta+\theta^{\prime}}{2}+\frac{\pi}{4}-\frac{% \theta+\theta^{\prime}}{2}\right\rparen\right\rangle=\left|\psi(\pi/4)\right\rangle.

As a result, the state ψ⁢(θ′)\psi(\theta^{\prime}) is rotated as close as possible to |1⟩\left|1\right\rangle while ψ⁢(θ)\psi(\theta) is simultaneously rotated as close as possible to |0⟩\left|0\right\rangle, see the illustration below:

Now let us examine the probability that this procedure succeeds, which was 12+12⁢sin⁡(θ′−θ)\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sin(\theta^{\prime}-\theta). In the extreme scenario that θ′−θ=0\theta^{\prime}-\theta=0, the success probability is 1/21/2. This makes sense, since the two states are equal and hence we cannot do better than guessing randomly. Actually, if θ′−θ=π\theta^{\prime}-\theta=\pi, then the success probability is also 1/21/2. This can be understood since then |ψ⁢(θ′)⟩=−|ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle=-\left|\psi(\theta)\right\rangle. Since this global minus sign is undetectable by any measurement, we can also not do better than guessing. On the other hand, if θ′−θ=π/2\theta^{\prime}-\theta=\pi/2, then the success probability is 11, which also makes sense. We simply rotate the states until they coincide with |0⟩\left|0\right\rangle and |1⟩\left|1\right\rangle, and then we measure. We see that for all other values of θ′−θ\theta^{\prime}-\theta, the probability of making a correct guess increases as θ−θ′\theta-\theta^{\prime} gets closer to π/2\pi/2. Hence, the closer the states |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle and |ψ⁢(θ′)⟩\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle are to being orthogonal, the higher the probability with which you can distinguish them! (Can you see this from the above figure?)

Übungsaufgabe 2.8 (Arm- und Beinbruch (herausfordernd)).
[Uncaptioned image]

Alice und Bob erkunden gerne die Wildnis rund um ihre Stadt. Dafür haben sie zwei große Gorilla-Roboter gebaut, die das unwegsame Gelände navigieren können und sie dabei bequem auf dem Rücken tragen. Aber heute ist kein guter Tag für Bob, sein Roboter ist von einer Klippe gefallen! Zum Glück überlebt Bob den Sturz mit nur ein paar blauen Flecken, aber dem Roboter geht es nicht so gut: ein Arm, ein Bein und das Kommunikationsmodul sind kaputt gegangen. Bob hat leider keine Ersatzteile für die Arme und Beine mitgebracht, schafft es aber zumindest das Kommunikationsmodul kurzzeitig zu reparieren. Dummerweise kann er nur ein einzelnes Qubit senden, bevor es ganz kaputt geht. Bob würde gerne Alice Bescheid geben, welches Bein (links oder rechts) und welcher Arm (links oder rechts) kaputt ist, damit sie das entsprechende Bauteil von ihrem Roboter zu ihm herunter schicken kann. Sie kann ihm aber nur ein Gliedmaß geben, da beide Roboter noch nach Hause laufen können müssen (sie können zum Glück auf drei Beinen laufen). Die Situation ist aber noch komplizierter, da Alice nicht ihr ganzes Werkzeug mitgebracht hat. Bob weiß, dass sie entweder das Werkzeug zum abmontieren von Beinen oder Armen dabei hat – leider kann er sich nicht daran erinnern welches von beiden!

Es gibt vier mögliche Kombinationen, in denen die Arme und Beine gebrochen sein können – du kannst annehmen dass alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/41/4 auftreten. Weiterhin gibt es zwei mögliche Werkzeuge, die Alice dabei haben könnte und du kannst annehmen, dass beide mit Wahrscheinlichkeit 1/21/2 auftreten.

Fragen:

  1. 1.
    ​

    Wenn Bob nur ein Bit an Alice senden kann, wie sollte er den Wert auswählen, je nachdem welche der vier Möglichkeiten eingetroffen ist? Wie sollte Alice die Nachricht interpretieren und entscheiden welches Gliedmaß, linkes oder rechtes, sie ihm senden sollte? (Denk daran, dass Alice entweder nur Beine oder nur Arme senden kann und Bob nicht weiß welches von beiden der Fall ist.) Wenn beide die optimale Strategie nutzen, mit welcher Wahrscheinlichkeit interpretiert Alice die Nachricht richtig und sendet das richtige Körperteil an Bob?

  2. 2.
    ​

    Was, wenn Bob stattdessen ein Qubit senden kann? Je nach seiner Situation kann er einen von vier Zuständen wählen und Alice kann abhängig von ihrer Situation eine von zwei Rotationen anwenden, bevor sie das Qubit misst. Was ist ihre gemeinsame beste Strategie und welche Erfolgswahrscheinlichkeit hat sie?

Du kannst annehmen, dass Alice und Bob wissen, wie sie ihre Nachrichten interpretieren müssen, da sie im Voraus darüber gesprochen haben, was sie in dieser Notsituation machen sollten.

Lösung. Idealerweise würde Bob gerne 2 Bit senden wollen, um zu zeigen welcher Arm und welches Bein defekt ist. Aber Alice interessiert sich nur für eins dieser Bits, da sie eh nur für eins das richtige Werkzeug dabei hat.
  1. 1.
    ​

    Lass uns die zwei möglichen Zustände für jedes der beiden Bits als LL (links) und RR (rechts) nennen. Eine mögliche Strategie für Bob ist der “Mehrheitsentscheid” der beiden Bits. Er könnte also die Zustände wie folgt abbilden:L⁢L↦LLL\mapsto L, R⁢R↦RRR\mapsto R. Die beiden anderen Zustände kann er beliebig kodieren, zum Beispiel so: L⁢R↦LLR\mapsto L, R⁢L↦RRL\mapsto R. Alice’ Strategie besteht dann einfach, das entsprechende Gliedmaß an ihn zu senden (links wenn sie LL erhält, RR ansonsten). Das funktioniert mit Wahrscheinlichkeit

    14⁢(1+1+12+12)=34=0.75,\frac{1}{4}\left\lparen 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right\rparen=\frac{3}{4}=0% .75, (2.37)

    wobei die vier Terme in den Klammern den Wahrscheinlichkeiten entsprechen, dass Alice jeweils das richtige Körperteil schickt für jede der vier Situationen.

  2. 2.
    ​

    Bob kann die folgenden Quantenzustände senden, je nachdem welche Gliedmaßen defekt sind (LR bedeutet linkes Bein und rechter Arm usw.)

    |L⁢L⟩\displaystyle\left|LL\right\rangle =cos⁡(π/8)⁢|0⟩−sin⁡(π/8)⁢|1⟩\displaystyle=\cos(\pi/8)\left|0\right\rangle-\sin(\pi/8)\left|1\right\rangle
    |L⁢R⟩\displaystyle\left|LR\right\rangle =cos⁡(π/8)⁢|0⟩+sin⁡(π/8)⁢|1⟩\displaystyle=\cos(\pi/8)\left|0\right\rangle+\sin(\pi/8)\left|1\right\rangle
    |R⁢R⟩\displaystyle\left|RR\right\rangle =cos⁡(3⁢π/8)⁢|0⟩+sin⁡(3⁢π/8)⁢|1⟩\displaystyle=\cos(3\pi/8)\left|0\right\rangle+\sin(3\pi/8)\left|1\right\rangle
    |R⁢L⟩\displaystyle\left|RL\right\rangle =cos⁡(3⁢π/8)⁢|0⟩−sin⁡(3⁢π/8)⁢|1⟩\displaystyle=\cos(3\pi/8)\left|0\right\rangle-\sin(3\pi/8)\left|1\right\rangle

    Um aus diesem Zustand das Bit über das Bein zu extrahieren, misst sie einfach. Wenn sie das Bit Information über den Arm haben möchte, wendet sie vor dem Messen noch U⁢(π/4)U(\pi/4) an. (Beachte, dass sie nicht beide Bits an Information extrahieren kann, da der ursprüngliche Zustand nach dem Messen zerstört ist.) Diese Strategie wird mit Wahrscheinlichkeit cos2⁡(π/8)=12+12⁢2≈0.85\cos^{2}(\pi/8)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0.85 erfolgreich sein. Das ist besser als im vorigen Szenario!

[Uncaptioned image]