2.5.1 Noch eine mysteriöse Operation

Wir haben noch immer nicht über die gelbe Box in Quirky geredet. Im Gegensatz zu der mysteriösen Operation von letzter Woche, welche auf klassischen Bits funktioniert hat, arbeitet diese auf Qubits. Lass uns die mysteriöse Quanten-Operation einfach $M$ nennen. Wie können wir herausfinden, was in der Box passiert? Als ersten Schritt können wir herausfinden, was $M\left|0\right\rangle$ ist. In Quirky können wir diesen Zustand wie folgt generieren:

Man nennt das Problem, einen unbekannten Quantenzustand herausfinden zu wollen, auch Quantentomographie, da man einen unbekannten Quantenzustand ‘von außen’ durch verschiedene Messungen bestimmen möchte. Es handelt sich dabei um eine grundlegende Problemstellung, mit denen sich experimentell Forschende täglich auseinandersetzen müssen, wenn sie prüfen wollen, ob das Qubit sich in dem Zustand befindet, in den sie es versetzen wollten!

Wir können schon eine Menge Informationen bekommen, wenn wir eine Messung auf dem unbekannten Zustand ausführen. Um das klar sehen zu können, schreiben wir

\displaystyle M\left|0\right\rangle=\begin{pmatrix}\psi_{0}\\ \psi_{1}\end{pmatrix}.

Wenn wir eine Quantenmessung durchführen, erhalten wir laut Gl. 2.6 das Ergebnis $1$ mit Wahrscheinlichkeit $\psi_{1}^{2}$ . Das bedeutet, wenn wir das obige Experiment sehr häufig wiederholen, erwarten wir, dass der Anteil der Messungen mit Ergebnis $1$ in etwa $\psi_{1}^{2}$ ist. Dieses Verhalten ist komplett analog zu dem mehrfachen Werfen der Münze und anschließendem zählen der Ergebnisse, das wir letzte Woche in Abschnitt 1.3 besprochen haben. Das liefert uns ein Verfahren zur Schätzung von $\psi_{1}^{2}$ . In Quirky können wir einfach die Wahrscheinlichkeitenanzeige nach der Messung nutzen, um die Wahrscheinlichkeit vom Ergebnis $1$ herauszufinden:

Wir stellen also fest, dass $\psi_{1}^{2}\approx 11.7\%$ . Da $M\left|0\right\rangle$ ein Einheitsvektor ist, können wir außerdem schlussfolgern, dass $\psi_{0}^{2}=1-\psi_{1}^{2}\approx 88.3\%$ . Jedoch können Amplituden auch negativ sein, also bestimmt das $\psi_{0}$ und $\psi_{1}$ nur bis auf das Vorzeichen! Erinnere dich nun aus 2.7 daran, dass $\left|\psi\right\rangle$ und $-\left|\psi\right\rangle$ ununterscheidbar sind, also können wir $\left|\psi\right\rangle=M\left|0\right\rangle$ höchstens bis auf ein allgemeines Vorzeichen bestimmen. Daher bleiben zwei Möglichkeiten:

\displaystyle\pm\begin{pmatrix}\sqrt{88.3\%}\\ \sqrt{11.7\%}\end{pmatrix},\quad\pm\begin{pmatrix}\sqrt{88.3\%}\\ -\sqrt{11.7\%}\end{pmatrix}

Beachte, dass diese Situation der aus 2.6 sehr ähnelt, wo wir zwischen $\left|+\right\rangle$ und $\left|-\right\rangle$ unterscheiden mussten. In der letzten Hausaufgabe für diese Woche wirst du genauer herausfinden, wie die mysteriöse Box von Innen aussieht.

Hausaufgabe 2.6 (Zeit für ein Mysterium).

1.

Wie kannst du zwischen den beiden Optionen unterscheiden? Nutze Quirky um den Quantenzustand $M\left|0\right\rangle$ bis auf allgemeines Vorzeichen festzustellen.
2.

Bestimme genauso auch den Quantenzustand $M\left|1\right\rangle$ .
3.

Bonusfrage: Bestimmen die beiden Antworten die Operation $M$ vollständig? Falls ja, schreibe eine Formel für $M$ auf. Falls nicht, wie kannst du $M$ herausfinden?

Hack.

1.

We must determine which of the two forms the state $M\left|0\right\rangle$ is:

$M\left|0\right\rangle=\pm\begin{pmatrix}\sqrt{0.883}\\ \sqrt{0.117}\end{pmatrix}=\pm\left|M_{0}\right\rangle\qquad\text{or}\qquad M% \left|0\right\rangle=\pm\begin{pmatrix}\sqrt{0.883}\\ -\sqrt{0.117}\end{pmatrix}=\pm\left|M_{1}\right\rangle.$

We can picture the two states $\left|M_{0}\right\rangle$ and $\left|M_{1}\right\rangle$ as follows: Calculating the angle $\theta$ can be done as follows:

$\theta=\arctan\left(\frac{\sqrt{0.117}}{\sqrt{0.883}}\right)\approx 0.349.$

If we are dealing with $\left|M_{0}\right\rangle$ , then rotating the state by an angle of $-\theta$ gives the state $\left|0\right\rangle$ , and hence a measurement would have a $0\%$ chance of yielding the value $1$ . On the other hand, if we are dealing with $\left|M_{1}\right\rangle$ , then rotating by an angle of $-\theta$ will yield neither $\left|0\right\rangle$ nor $\left|1\right\rangle$ , hence the probability of the measurement outcome will be neither $0\%$ nor $100\%$ . So, let’s build this circuit and see what probability we get!

The probability of getting outcome $1$ is exactly $0\%$ , meaning that we are dealing with the state $\left|M_{0}\right\rangle$ . So, we conclude that:

$M\left|0\right\rangle=\pm\begin{pmatrix}\sqrt{0.883}\\ \sqrt{0.117}\end{pmatrix}.$
2.

We insert a NOT operation in front of the mystery operation in the circuit shown above. This will change the state from $\left|0\right\rangle$ to $\left|1\right\rangle$ , and hence after the application of the mystery operation, we have the state $M\left|1\right\rangle$ . We measure this state and check the probability of getting $1$ :

Hence, we find that $M\left|1\right\rangle$ is of the following form:

$M\left|1\right\rangle=\pm\begin{pmatrix}\sqrt{0.117}\\ \sqrt{0.883}\end{pmatrix}=\pm\left|N_{0}\right\rangle\qquad\text{or}\qquad M% \left|1\right\rangle=\pm\begin{pmatrix}\sqrt{0.117}\\ -\sqrt{0.883}\end{pmatrix}=\pm\left|N_{1}\right\rangle$

Now we can make a similar drawing:

And again we can calculate $\theta$ :

$\theta=\arctan\left(\frac{\sqrt{0.883}}{\sqrt{0.117}}\right)\approx 1.221.$

So, we can do a similar trick as before:

We see that the probability of getting outcome $1$ is not $0$ , hence we must be dealing with the state $\left|N_{1}\right\rangle$ , and so we find:

$M\left|1\right\rangle=\pm\begin{pmatrix}\sqrt{0.117}\\ -\sqrt{0.883}\end{pmatrix}.$
3.

The somewhat surprising answer is no, since the sign of $M\left|0\right\rangle$ relative to $M\left|1\right\rangle$ is important and still undetermined. However, even though we cannot determine the signs of $M\left|0\right\rangle$ and $M\left|1\right\rangle$ individually, we can find out whether they are the same or not. This can be done by applying $M$ to some intermediate state such as $\left|+\right\rangle$ . If the signs are the same, we obtain:

$M\left|+\right\rangle=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}\sqrt{0.883}+\sqrt{0% .117}\\ \sqrt{0.117}-\sqrt{0.883}\end{pmatrix}\approx\pm\begin{pmatrix}0.906\\ -0.442\end{pmatrix}.$

On the other hand, if the signs are opposite, we have:

$M\left|+\right\rangle=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}\sqrt{0.883}-\sqrt{0% .117}\\ \sqrt{0.117}+\sqrt{0.883}\end{pmatrix}\approx\pm\begin{pmatrix}0.442\\ -0.906\end{pmatrix}.$

We can have a look at what Quirky tells us:

Apparently, the probability of getting $1$ is $82.1\%$ . Since $0.821=(-0.906)^{2}$ , we must be in the second case. So, the signs of $M\left|0\right\rangle$ and $M\left|1\right\rangle$ must be different. This tells us everything we can possibly figure out about $M$ .