1.3 Ein probabilistisches Bit messen

Wenn du eine Münze wirfst, sie aber sofort mit deiner Hand abdeckst, kannst du nicht wissen, auf welcher Seite sie gelandet ist. In dieser Situation lässt sich der Zustand der Münze durch die Gleichverteilung (engl. uniform distribution) beschreiben:

$$\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/01.png}}}=\begin{pmatrix}1/2\\ 1/2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\,[0]+\frac{1}{2}\,[1].$$ (1.29)

Wenn du dann aber deine Hand hebst und die Münze “Kopf” zeigt, wird dein Wissen über den Zustand aktualisiert zu

$$\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}=[0]$$ (1.30)

da du ja jetzt sicher weißt, in welchem Zustand sich die Münze befindet. Wir bezeichnen den Prozess des Aufdeckens, bzw. die Hand in so einem Münzwurf zu heben, als messen (engl. measurement) ³³ 3 Diesen Begriff haben wir aus der Welt der Quanteninformatik übernommen, wo ein ähnlicher Prozess existiert..

Bemerke, dass der Zustand nach dem Messen ein anderer ist als davor, siehe Gl. 1.29 und 1.30. Tatsächlich ist nach dem Messen der Zustand nicht mehr unklar. Stell dir jetzt vor, du bedeckst die Münze wieder mit deiner Hand, nachdem du ihren Zustand gerade gemessen hast. In welchem Zustand ist sie jetzt? Offensichtlich noch immer

$$\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}=[0]$$ (1.31)

da wir ja bereits wissen, dass sie “Kopf” zeigt. Auch wenn du sie jetzt noch eimal misst (anschaust), wird sie wieder “Kopf” zeigen. Genauso verläuft das ganze, wenn du bei der ersten Messung einer zufälligen Münze “Zahl” als Ergebnis hattest: egal wie oft du die Messung wiederholst, das Ergebnis wird “Zahl” bleiben.

Im Allgemeinen resultiert das Messen eines zufälligen Bits mit der Verteilung $\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)}$ mit Wahrscheinlichkeit $p_{0}$ im Ergebnis $0$ (“Kopf”) und mit Wahrscheinlichkeit $p_{1}$ das Ergebnis $1$ (“Zahl”):

Der Zustand des probabilistischen Bits ist nach dem Messen dann nicht mehr $\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)}$ sondern einer der beiden Basiszustände $[0]=\bigl{(}\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\bigr{)}$ oder $[1]=\bigl{(}\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\bigr{)}$, in Abhängigkeit des Messergebnisses. Wenn du beispielsweise das Ergebnis $1$ (“Zahl”) erhältst, ist der Zustand danach $[1]$. Im Allgemeinen verändert messen den Zustand!

Es ist wichtig zu bemerken, dass sich durch das Messen eines probabilistischen Bits nicht die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten $p_{0}$ oder $p_{1}$ extrahieren lassen – du bekommst nur einen einzelnen Bit $0$ oder $1$ als Ergebnis. Außerdem ist die ursprüngliche Verteilung $\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)}$ nach dem Messen zerstört, man kann die Messung also nicht auf der ursprünglichen Verteilung wiederholen. Das ist tatsächlich sehr intuitiv: Wenn man eine Münze genau einmal wirft erhält man nur ein einzelnes zufälliges Ergebnis – man weiß aber nicht ob die Münze fair oder unfair ist.

Wenn wir aber die gleiche Münze sehr häufig werfen, erwarten wir, dass der Anteil der Würfe mit Ergebnis $1$ in etwa $p_{1}$ ist. Mit anderen Worten,

wobei $N$ die Anzahl aller Messungen und $N_{1}$ die Anzahl der Messungen mit Ergebnis $1$ ist. Je mehr Messungen wir durchführen, desto genauer sollte $p_{1}$ angenähert werden ⁴⁴ 4 Wie gut ist diese Annäherung? Man kann zeigen, dass der Fehler im Durchschnitt etwa Größenordnung $1/\sqrt{N}$ hat, also schnell auf $0$ zugeht, wenn wir häufig messen..