1.1 Probabilistische Bits

Wir benutzen Wahrscheinlichkeiten, wann immer eines von mehreren möglichen Ereignissen eintreten kann, wir aber noch nicht wissen, welches Ereignis tatsächlich eintreten wird – je wahrscheinlicher das Ereignis, desto höher dessen Wahrscheinlichkeit. Ein Ereignis welches auf jeden Fall eintritt, hat eine Wahrscheinlichkeit von $1$ (also 100%), während ein Ereignis, das niemals eintritt, eine Wahrscheinlichkeit von $0$ hat.

Wir können uns beispielsweise einen Münzwurf vorstellen. Wenn du eine Münze wirfst und sie, ohne sie anzuschauen, mit deiner Hand abdeckst, können zwei mögliche Ereignisse eintreten: entweder die “Kopf”-Seite zeigt nach oben, oder die “Zahl”-Seite zeigt nach oben. Bei einer fairen Münze sind beide Fälle gleich wahrscheinlich, also weisen wir beiden eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{2}=0.50$, also $50\%$, zu (in Abb. 1.1 stellen wir diesen Fall als dar). Münzen können aber auch unfair (engl. biased) sein, also mit höherer Wahrscheinlichkeit auf einer der beiden Seiten landen. Je nachdem, wie unfair die Münze ist, man sich ein ganzes Spektrum an Möglichkeiten vorstellen: eine extrem unfaire Münze könnte immer mit der “Kopf”-Seite nach oben landen, eine andere dagegen vielleicht immer mit der “Zahl”-Seite (siehe und links und rechts in Abb. 1.1). Für die erste dieser beiden Münzen ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses “Zahl” dabei $0$ (da es immer mit der “Kopf”-Seite nach oben landet), während für die andere Münze das Ereignis “Zahl” die Wahrscheinlichkeit $1$ hat.

Da wir uns keine Gedanken über die genaue Konstruktion von Münzen von verschiedener Form und Größe machen wollen, ist es sinnvoll, die Information, die einen Münzwurf beschreibt, zu abstrahieren. Das erreichen wir, indem wir die Ereignisse “Kopf” und “Zahl” mit den Werten $0$ und $1$ eines Bits assoziieren. Dann lässt sich ein Münzwurf mit zwei Wahrscheinlichkeiten beschreiben: Der Wahrscheinlichkeit $p_{0}$, dass das Ergebnis $0$ (“Kopf”) ist, und der Wahrscheinlichkeit $p_{1}$, dass das Ergebnis $1$ (“Zahl”) ist. Ein solches Bit, welches seine beiden möglichen Werte mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten annimmt, wird als probabilistisches Bit bezeichnet. Beachte dabei, dass sich die beiden Wahrscheinlichkeiten $p_{0},p_{1}\geq 0$ notwendigerweise zu $1$ aufaddieren müssen: $p_{0}+p_{1}=1$. Wenn die Münze, wie im Beispiel oben, fair ist, dann muss, wie oben beschrieben, $p_{0}=p_{1}=\frac{1}{2}$ gelten.

Ist dir aufgefallen, dass es ausreichen würde, nur eine der beiden Wahrscheinlichkeiten $p_{0}$ oder $p_{1}$ anzugeben, da beide durch die jeweils andere bestimmt werden? Der Klarheit halber werden wir aber immer beide angeben und die Wahrscheinlichkeiten als Vektor schreiben:

Wir nennen diesen Vektor die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder den Zustand des probabilistischen Bits. Diese Vektornotation ist nicht nur praktisch, um alle Wahrscheinlichkeiten in einer schönen Tabelle darzustellen, sondern sie erlaubt es uns auch, ein probabilistisches Bit geometrich zu visualisieren. Außerdem wird es uns helfen, Parallelen zwischen probabilistischen Bits und Quantenbits zu sehen.

Wir nennen die beiden Zustände, bei denen das Ergebnis immer $0$ (“Kopf”, ) oder immer $1$ (“Zahl”, ) lautet, deterministisch. Dies entspricht den oben diskutierten “extrem unfairen” Münzen, bei denen das Ergebnis des Münzwurfs von vornherein eindeutig bestimmt ist. In Gl. 1.1 korrespondieren diese Zustände zu den Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit $p_{0}=1$, $p_{1}=0$ bzw. $p_{0}=0$, $p_{1}=1$. Da wir diese Zustände häufig benutzen, ist es sinnvoll, folgende Abkürzung einzuführen:

Diese Notation mag am Anfang ein wenig verwirren, aber du kannst dir $[0]$ und $[1]$ als  und  oder als $[\text{Kopf}]$ und $[\text{Zahl}]$ vorstellen, wenn du möchtest.

Diese zwei Zustände bilden eine Basis aller Zustände. Das bedeutet, das wir alle anderen Zustände als Linearkombination dieser beiden Zustände darstellen. Konkret:

Da Zustände Vektoren sind, können wir sie in einem zweidimensionalen Koordinatensystem visualisieren. Die möglichen Zustände eines probabilistischen Bits entsprechen dann genau der Strecke zwischen den beiden Punkten $[0]$ und $[1]$, die den deterministischen Zuständen des Bits entsprechen (siehe Abb. 1.2).