1.1.1 Multiplizieren von Wahrscheinlichkeiten

Wenn du zwei Münzen wirfst, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass beide “Kopf” ergeben? Nimm an, dass die beiden Münzen durch probabilistischen Bits

\displaystyle a=\begin{pmatrix}a_{0}\\ a_{1}\end{pmatrix}\qquad\text{und}\quad b=\begin{pmatrix}b_{0}\\ b_{1}\end{pmatrix}

(1.12)

beschrieben werden, wobei das Ergebnis 0 “Kopf” entspricht und das Ergebnis 1 “Zahl”. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Münze die “Kopf”-Seite zeigt, ist also $a_{0}$ , und die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Münze die “Kopf”-Seite zeigt, ist $b_{0}$ . (Wir nehmen nicht an, dass die Münzen fair sind, diese Wahrscheinlichkeiten müssen also nicht $50\%$ sein.) Um die Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen gleichzeitig “Kopf” zeigen, zu berechnen, müssen wir die beiden Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren:

p_{00}=a_{0}b_{0}.

(1.13)

Bemerke, dass $p_{00}\leq a_{0}$ und $p_{00}\leq b_{0}$ da $a_{0}\leq 1$ und $b_{0}\leq 1$ . Das ist logisch, da “Kopf” für beide Münzen gleichzeitig nicht wahrscheinlicher sein kann als “Kopf” für eine der beiden Münzen alleine (meistens ist es sogar weniger wahrscheinlich). Nach dem gleichen Muster kann man die Wahrscheinlichkeiten aller anderer Kombinationen von Kopf und Zahl berechnen. Hier fassen wir die Fälle zusammen:

	$\displaystyle p_{00}$	$\displaystyle=a_{0}b_{0},\qquad p_{01}=a_{0}b_{1},$		(1.14)
	$\displaystyle p_{10}$	$\displaystyle=a_{1}b_{0},\qquad p_{11}=a_{1}b_{1}.$		(1.14)

Wir nennen zwei Ereignisse unabhängig (engl. independent), wenn sie aus verschiedenen Quellen stammen und das Eintreten des einen Ereignisses nichts über das andere aussagt. In solchen Situationen wird typischerweise das Wort “und” benutzt. Zum Beispiel: “Die erste Münze ist Kopf und die zweite ist Zahl”. Wir multiplizieren Wahrscheinlichkeiten, wenn wir wissen wollen, ob zwei unabhängige Ereignisse gleichzeitig eingetreten sind.

Übungsaufgabe 1.2 (Wahrscheinlichkeiten multiplizieren).

Alice sitzt gelangweilt im Mathematikunterricht und schaut auf ihre digitale Armbanduhr. Der Sekundenzeiger zeigt Werte von 00 bis 59. Nimm an, dass Alice zu einem zufälligen Zeitpunkt innerhalb der nächsten Minute auf ihre Uhr schaut.

1.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit sieht sie 00 ?
2.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die letzte Ziffer 0 ?
3.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die erste Ziffer 0 ?
4.

Begründe, wieso die Werte beider Ziffern unabhängig voneinander sind. Überprüfe deine Antwort auf Frage 1, indem du deine Antworten auf Fragen 2 und 3 miteinander multiplizierst.

Lösung.

1.

Der Sekundenzeiger kann $60$ verschiedene Werte anzeigen. Die Wahrscheinlichkeit einen bestimmten zu sehen ist $\frac{1}{60}$ .
2.

Die letzte Ziffer kann $10$ verschiedene Werte haben. Die Wahrscheinlichkeit einen bestimmten zu sehen ist $frac1{10}$ .
3.

Die erste Ziffer kann $6$ verschiedene Werte haben. Die Wahrscheinlichkeit einen bestimmten zu sehen ist $\frac{1}{6}$ .
4.

Wenn du nur die erste Ziffer siehst, kann die letzte Ziffer immer noch alle $10$ möglichen Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit einnehmen. Das gleiche gilt, wenn du nur die letzte Ziffer siehst, dann kann die erste immer noch alle $6$ möglichen Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit einnehmen. Also sind die Werte der zwei Ziffern unabhängig. Du kannst die Wahrscheinlichkeit mit folgender Gleichung verifizieren:

$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{10}=\frac{1}{60}.$