1.2 Operationen auf probabilistischen Bits

Da wir nun wissen, wie man Bits an Information durch Vektoren darstellt, können wir Operationen auf diesen als lineare Transformationen repräsentieren und Hilfsmittel aus der linearen Algebra nutzen. Zum Beispiel können wir uns die Operation anschauen, die “Kopf” und “Zahl” einer Münze vertauscht:

Wir bezeichnen diese Operation als $\mathrm{NOT}$ und schreiben mathematisch:

\mathrm{NOT}\;\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}=\vbox{% \hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/1.png}}},\qquad\mathrm{NOT}\;\vbox{% \hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/1.png}}}=\vbox{\hbox{% \includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}.

,NOT⁢

.\mathrm{NOT}\;\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}=\vbox{% \hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/1.png}}},\qquad\mathrm{NOT}\;\vbox{% \hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/1.png}}}=\vbox{\hbox{% \includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}. (1.16)

Mit den Konventionen aus Gl. 1.6 können wir also schreiben

\mathrm{NOT}\,[0]=[1],\qquad\mathrm{NOT}\,[1]=[0].

(1.17)

Beachte, wir schreiben $\mathrm{NOT}\,p$ als Abkürzung für $\mathrm{NOT}(p)$ – wobei beide Notationen einfach bedeuten, dass $\mathrm{NOT}$ auf einen Vektor wirkt. ¹¹ 1 Man könnte auch $\mathrm{NOT}\cdot p$ schreiben, da diese Operation einer Matrix-Vektor-Multiplikation entspricht. Im Allgemeinen werden wir Operationen mit Großbuchstaben benennen um sie von Vektoren und Zahlen unterscheiden zu können.

Erinnere dich noch einmal an Gl. 1.6, die beschreibt, dass $[0]$ und $[1]$ jeweils die deterministischen Zustände $0$ und $1$ eines probabilistischen Bits beschreiben. Da die $\mathrm{NOT}$ Operation diese zwei Vektoren vertauscht, invertiert oder “negiert” sie den Wert des Bits. Genau aus diesem Grund haben wir sie “NOT” (engl. für “nicht”) benannt – sie entspricht der logischen Negation! Eine einfache Anwendung von $\mathrm{NOT}$ ist es, Daten in deinen Computer einzugeben. Wenn alle deine Bits zu Beginn auf $0$ gesetzt sind, kannst du so einzelne auf $1$ setzen, um Daten einzugeben – das ist häufig der erste Schritt einer Berechnung.

Wie sollten wir aber die $\mathrm{NOT}$ Operation auf einem probabilistischen Bit $p=\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)}$ definieren? Mit Wahrscheinlichkeit $p_{0}$ ist das Bit $0$ und wird zu einer $1$ invertiert. Mit Wahrscheinlichkeit $p_{1}$ ist das Bit $1$ und wird zu einer $0$ invertiert. Daher kann der Effekt der $\mathrm{NOT}$ Operation einfach so beschrieben werden:

\displaystyle\mathrm{NOT}\begin{pmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{1}\\ p_{0}\end{pmatrix}.

(1.22)

Wenn man in diese Gleichung nun wieder $p_{0}=1$ (und $p_{1}=0$ ) oder $p_{0}=0$ (und $p_{1}=1$ ) einsetzt, erhalten wir die uns schon bekannte Gl. 1.17. Du kannst dir also die $\mathrm{NOT}$ Operation, und Gl. 1.22 wie folgt vorstellen: Wenn du dir ein probabilistisches Bit als einen ‘blinden’ Münzwurf vorstellst (du hast dir die Münze also noch nicht angeschaut), dann führst du die $\mathrm{NOT}$ Operation aus, indem du die Münze einmal umdrehst, immer noch ohne sie anzuschauen.

Übungsaufgabe 1.4 (Die $\mathrm{NOT}$ Operation visualiseren).

Wie wir in Abb. 1.2 gesehen haben, liegen alle möglichen Zustände eines probabilistischen Bits auf einer Strecke. Lass uns also versuchen zu verstehen, wie die $\mathrm{NOT}$ Operation diese Strecke transformiert oder verändert.

1.

Such dir einen beliebigen²² 2 Hier bedeutet ‘beliebig’, dass deine Berechnungen für jeden möglichen Punkt gelten muss. Am einfachsten ist es meist, die Werte $p_{0}$ und $p_{1}$ bis zum Ende als unbekannte Zahlen zu behandeln. (engl. arbitrary) Punkt auf der Strecke mit Koordinaten $(p_{0},p_{1})$ . Wo landet dieser Punkt nachdem du die $\mathrm{NOT}$ Operation auf ihn angewandt hast?
2.

Was passiert mit den zwei Endpunkten der Strecke?
3.

Gibt es einen Punkt auf der Strecke, der auf sich selbst abgebildet wird?

Lösung.

1.

In Gl. 1.22 haben wir gesehen, dass der Punkt $(p_{0},p_{1})$ durch die $\mathrm{NOT}$ -Operation auf den Punkt $(p_{1},p_{0})$ abgebildet wird. Mit anderen Worten, die Koordinaten des Punktes werden getauscht. Hier ist ein Beispiel, wie das grafisch aussieht:

Du kannst dir die $\mathrm{NOT}$ -Operation also grafisch als “Spiegeln an der gestrichelten Diagonale” vorstellen.
2.

Nach Gl. 1.6 korrespondieren die zwei Endpunkte der Achse mit den zwei deterministischen Zuständen $[0]$ und $[1]$ . In Gl. 1.17 haben wir gesehen, dass die $\mathrm{NOT}$ -Operation die beiden miteinander vertauscht.
3.

Ein Punkt mit den Koordinaten $(p_{0},p_{1})$ bleibt unverändert von der $\mathrm{NOT}$ -Operation, wenn $(p_{0},p_{1})=(p_{1},p_{0})$ also $p_{0}=p_{1}$ . Da $p_{0}+p_{1}=1$ gelten muss, gilt das für $p_{0}=p_{1}=1/2$ , was dem Punkt $(1/2,1/2)$ entspricht. Dies ist der einzige Punkt der unverändert bleibt.

1.2 Operationen auf probabilistischen Bits

Übungsaufgabe 1.4 (Die NOT\mathrm{NOT} Operation visualiseren).

Übungsaufgabe 1.4 (Die $\mathrm{NOT}$ Operation visualiseren).