1.2.1 Erweitern durch Linearität

Wie sollten wir $M\,\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)}$ definieren, wenn $M$ eine beliebige Operation auf einem Bit ist? Wie zuvor nehmen wir an, dass wir wissen, wie $M$ sich auf die zwei möglichen Werte des Bits auswirkt. Dann schreiben wir $M\,[0]$ als das Resultat der Operation, wenn das Bit $0$ ist und $M\,[1]$ wenn das Bit $1$ ist. (Im Falle der $\mathrm{NOT}$ Operation ist das genau das, was wir in Gl. 1.17 gemacht haben.) Nun versuchen wir die gleichen Argumente wie oben zu nutzen: Mit Wahrscheinlichkeit $p_{0}$ ist das Bit $0$ und wir erhalten $M\,[0]$ durch Anwenden der Operation $M$. Mit Wahrscheinlichkeit $p_{1}$ ist das Bit $1$ und wir erhalten stattdessen $M\,[1]$. Insgesamt sollten wir also definieren

wobei $p_{0}\,M\,[0]$ bedeutet, dass wir den Vektor $M\,[0]$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_{0}$ multiplizieren.

Durch Gl. 1.7 können wir Gl. 1.25 auch wie folgt umschreiben:

Beachte, dass der Unterschied der beiden Seiten der Gleichung in der Reihenfolge der Operationen liegt: auf der linken Seite wird erst die Linearkombination gebildet und dann $M$ auf diese angewendet, während auf der rechten Seite zuerst $M$ auf die Zustände wirkt und anschließend die Linearkombination gebildet wird. Diese Gleichung sieht der bekannten Regel $a(b+c)=ab+ac$ sehr ähnlich (das “Distributivgesetz”).

Wenn $M$ eine Operation auf probabilistischen Bits ist, die Gl. 1.26 erfüllt, nennen wir $M$ linear. Unsere Regeln aus Gl. 1.25 und 1.26 um $M$ von Bits auf probabilistische Bits zu erweitern, nennt man erweitern durch Linearität. Häufig werden wir das gleiche Konzept für Quantenbits nutzen.