1.2.1 Erweitern durch Linearität

Wie sollten wir M⁢(p0p1)M\,\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)} definieren, wenn MM eine beliebige Operation auf einem Bit ist? Wie zuvor nehmen wir an, dass wir wissen, wie MM sich auf die zwei möglichen Werte des Bits auswirkt. Dann schreiben wir M⁢[0]M\,[0] als das Resultat der Operation, wenn das Bit 0 ist und M⁢[1]M\,[1] wenn das Bit 11 ist. (Im Falle der NOT\mathrm{NOT} Operation ist das genau das, was wir in Gl. 1.17 gemacht haben.) Nun versuchen wir die gleichen Argumente wie oben zu nutzen: Mit Wahrscheinlichkeit p0p_{0} ist das Bit 0 und wir erhalten M⁢[0]M\,[0] durch Anwenden der Operation MM. Mit Wahrscheinlichkeit p1p_{1} ist das Bit 11 und wir erhalten stattdessen M⁢[1]M\,[1]. Insgesamt sollten wir also definieren

M⁢(p0p1)=p0⁢M⁢[0]+p1⁢M⁢[1],\displaystyle M\begin{pmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{pmatrix}=p_{0}\,M\,[0]+p_{1}\,M\,[1], (1.25)

wobei p0⁢M⁢[0]p_{0}\,M\,[0] bedeutet, dass wir den Vektor M⁢[0]M\,[0] mit der Wahrscheinlichkeit p0p_{0} multiplizieren.

Übungsaufgabe 1.5 (NOT\mathrm{NOT} auf probabilistischen Bits).

Zeige, dass Gl. 1.25 zu Gl. 1.22 führt, wenn MM die NOT\mathrm{NOT} Operation ist.

Lösung. Wir nutzen Gl. 1.25 und 1.17,
NOT⁢(p0p1)=p0⁢NOT⁢(10)+p1⁢NOT⁢(01)=p0⁢(01)+p1⁢(10)=(p1p0),\displaystyle\mathrm{NOT}\begin{pmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{pmatrix}=p_{0}\,\mathrm{NOT}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}+p_{1}\,\mathrm{NOT}\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}=p_{0}\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}+p_{1}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{1}\\ p_{0}\end{pmatrix},
was dasselbe ist wie Gl. 1.22.

Durch Gl. 1.7 können wir Gl. 1.25 auch wie folgt umschreiben:

M⁢(p0⁢[0]+p1⁢[1])=p0⁢M⁢[0]+p1⁢M⁢[1].M\Big{\lparen}p_{0}\,[0]+p_{1}\,[1]\Big{\rparen}=p_{0}\,M\,[0]+p_{1}\,M\,[1]. (1.26)

Beachte, dass der Unterschied der beiden Seiten der Gleichung in der Reihenfolge der Operationen liegt: auf der linken Seite wird erst die Linearkombination gebildet und dann MM auf diese angewendet, während auf der rechten Seite zuerst MM auf die Zustände wirkt und anschließend die Linearkombination gebildet wird. Diese Gleichung sieht der bekannten Regel a⁢(b+c)=a⁢b+a⁢ca(b+c)=ab+ac sehr ähnlich (das “Distributivgesetz”).

Wenn MM eine Operation auf probabilistischen Bits ist, die Gl. 1.26 erfüllt, nennen wir MM linear. Unsere Regeln aus Gl. 1.25 und 1.26 um MM von Bits auf probabilistische Bits zu erweitern, nennt man erweitern durch Linearität. Häufig werden wir das gleiche Konzept für Quantenbits nutzen.