1.1.2 Wahrscheinlichkeiten addieren

Jetzt schauen wir uns ein etwas komplizierteres Problem an. Nimm wieder an, dass zwei Münzen $a$ und $b$ geworfen werden. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass beide das gleiche Ergebnis zeigen? Es gibt es zwei Möglichkeiten – entweder sind beide Münzen mit der “Kopf”-Seite nach oben gelandet, oder beide zeigen “Zahl”. Wir wissen schon von Gl. 1.14, dass die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden einzelnen Ereignisse die folgenden sind:

\displaystyle p_{00}=a_{0}b_{0},\qquad p_{11}=a_{1}b_{1}.

Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass das eines der beiden Ereignisse eintritt, müssen wir die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren:

p_{00}+p_{11}=a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}.

(1.15)

Wir addieren Wahrscheinlichkeiten, wenn wir mehrere Ergebnisse eines Experimentes kombinieren wollen. Solche kombinierten Ereignisse werden typischerweise mit dem Wort “oder” beschrieben. Zum Beispiel: “Beide Münzen zeigen Kopf oder beide Münzen zeigen Zahl”. Aber aufgepasst: Das funktioniert nur, wenn sich die Münzen nicht gegenseitig beeinflussen!

Übungsaufgabe 1.3 (Wahrscheinlichkeiten addieren).

Bob sitzt ebenfalls gelangweilt im Mathematikunterricht. Ihm fällt auf, dass Alice auf ihre Uhr starrt – also wirft er auch einen Blick auf seine Uhr. Zu seiner Überraschung zeigt der Sekundenzeiger 44, was Bob unwahrscheinlich erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ziffern des Sekundenzeigers dieselben sind, wenn Bob zu einem zufälligen Zeitpunkt einer Minute auf seine Uhr schaut?

Lösung.

Es gibt sechs verschiedene Fälle, in denen beide Ziffern gleich sind (von 00 bis 55). Jeder einzelne Fall tritt mit Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{60}

ein. Wir können diese sechs Ereignisse in eines zusammenfassen, sodass dessen Wahrscheinlichkeit die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist:

\underbrace{\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+% \frac{1}{60}}_{\text{$6$ Terme}}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}.

Nun hast du gelernt, wann Wahrscheinlichkeiten addiert oder multipliziert werden. Probiere doch mit diesem Wissen, deine erste Hausaufgabe zu lösen!

Hausaufgabe 1.1 (Gegenteilige Münzen).

Alice wirft zwei Münzen $a$ und $b$ mit den folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen:

\displaystyle a=\begin{pmatrix}2/3\\ 1/3\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3/4\\ 1/4\end{pmatrix}.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit landen die beiden Münzen auf unterschiedlichen Seiten?

Hack.

Ähnlich wie in Gl. 1.15, müssen wir $p_{10}+p_{01}$ berechnen. Die Wahrscheinlichkeit ist

\displaystyle p_{10}+p_{01}=a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}+% \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{5}{12}.