2.4.3 Spiegelungen

Jede Qubit-Operation ist entweder eine Rotation oder eine Spiegelung (Reflektion). Mit Rotationen aus Gl. 2.27 haben wir uns schon ein wenig auseinandergesetzt. Spiegelungen dagegen kennen wir erst zwei: ZZ und NOT\mathrm{NOT}, siehe Gl. 2.26 und 2.25. Aber wie sieht die allgemeinste Spiegelung aus?

Man kann beispielsweise jede Spiegelung bilden, indem man eine bestimmte (sagen wir, die NOT\mathrm{NOT}-Spiegelung) betrachtet, und sie mit einer passenden Rotation kombiniert, sodass die Spiegelachse sich korrekt ändert. In der folgenden Übung wirst du zeigen, wie man die ZZ-Spiegelung aus der NOT\mathrm{NOT}-Spiegelung auf zwei Wege erhalten kann.

Hausaufgabe 2.4 (ZZ aus NOT\mathrm{NOT}).

Seien ZZ, NOT\mathrm{NOT} und U⁢(θ)U(\theta) die Qubit-Operationen definiert in Gl. 2.26, 2.25 und 2.27.

  1. 1.
    ​

    Finde einen Winkel θ\theta, für den Z=U⁢(θ)⁢NOT⁢U⁢(−θ)Z=U(\theta)\,\mathrm{NOT}\,U(-\theta) gilt.

  2. 2.
    ​

    Finde einen Winkel θ\theta, für den Z=NOT⁢U⁢(θ)Z=\mathrm{NOT}\,U(\theta) gilt.

Kannst du die Abfolge der Transformationen auf dem Einheitskreis visualiseren?

Hinweis: Schau dir Abb. 2.4 und die Zeichnung, die du für die 2.2 erstellt hast an.

Hack.
  1. 1.
    ​

    Choose θ=−π/4\theta=-\pi/4. We check that the resulting operation U⁢(−π/4)⁢NOT⁢U⁢(π/4)U(-\pi/4)\,\mathrm{NOT}\,U(\pi/4) is the same as ZZ by checking that it acts the same on the states |0⟩\left|0\right\rangle and |1⟩\left|1\right\rangle:

    U⁢(−π4)⁢NOT⁢U⁢(π4)⁢|0⟩\displaystyle U\left\lparen-\frac{\pi}{4}\right\rparen\,\mathrm{NOT}\,U\left% \lparen\frac{\pi}{4}\right\rparen\left|0\right\rangle =U⁢(−π4)⁢NOT⁢|+⟩=U⁢(−π4)⁢|+⟩=|0⟩,\displaystyle=U\left\lparen-\frac{\pi}{4}\right\rparen\,\mathrm{NOT}\,\left|+% \right\rangle=U\left\lparen-\frac{\pi}{4}\right\rparen\left|+\right\rangle=% \left|0\right\rangle,
    U⁢(−π4)⁢NOT⁢U⁢(π4)⁢|1⟩\displaystyle U\left\lparen-\frac{\pi}{4}\right\rparen\,\mathrm{NOT}\,U\left% \lparen\frac{\pi}{4}\right\rparen\left|1\right\rangle =−U⁢(−π4)⁢NOT⁢|−⟩=U⁢(−π4)⁢|−⟩=−|1⟩.\displaystyle=-U\left\lparen-\frac{\pi}{4}\right\rparen\,\mathrm{NOT}\,\left|-% \right\rangle=U\left\lparen-\frac{\pi}{4}\right\rparen\left|-\right\rangle=-% \left|1\right\rangle.

    By linearity, this implies that the operation acts exactly the same on all states.

  2. 2.
    ​

    Choose θ=π/2\theta=\pi/2. Then

    NOT⁢U⁢(π2)⁢|0⟩\displaystyle\mathrm{NOT}\,U\left\lparen\frac{\pi}{2}\right\rparen\left|0\right\rangle =NOT⁢|1⟩=|0⟩,\displaystyle=\mathrm{NOT}\,\left|1\right\rangle=\left|0\right\rangle,
    NOT⁢U⁢(π2)⁢|1⟩\displaystyle\mathrm{NOT}\,U\left\lparen\frac{\pi}{2}\right\rparen\left|1\right\rangle =−NOT⁢|0⟩=−|1⟩.\displaystyle=-\mathrm{NOT}\,\left|0\right\rangle=-\left|1\right\rangle.

Es stellt sich heraus, dass man jede Spiegelung auf eine ähnliche Art und Weise bauen kann. Die allgemeinste Spiegelung hat die Form

V⁢(θ)=NOT⁢U⁢(θ)=U⁢(−θ)⁢NOT.V(\theta)=\mathrm{NOT}\,U(\theta)=U(-\theta)\,\mathrm{NOT}. (2.33)

Eine sehr nützliche Operation ist zum Beispiel die Hadamard (nach Jacques Hadamard) Transformation, die sich wie folgt auf die Basiszustände auswirkt (siehe Abb. 2.6):

H⁢|0⟩=12⁢(|0⟩+|1⟩)=|+⟩,H⁢|1⟩=12⁢(|0⟩−|1⟩)=|−⟩.H\left|0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lparen\left|0\right\rangle+\left% |1\right\rangle\right\rparen=\left|+\right\rangle,\qquad H\left|1\right\rangle% =\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lparen\left|0\right\rangle-\left|1\right\rangle\right% \rparen=\left|-\right\rangle. (2.34)

Diese Operation ist ein Spezialfall der allgemeinen Spiegelung:

H=V⁢(π/4).H=V(\pi/4). (2.35)

Zusammengefasst ist jede Qubit-Operation entweder eine Rotation U⁢(θ)U(\theta) oder eine Spiegelung V⁢(θ)V(\theta), wobei θ\theta ein Winkel ist.

Abbildung 2.6: Die Hadamard-Operation HH auf einem Qubit entspricht einer Spiegelung an der 45/245/2 Grad (oder π/8\pi/8) Achse (gestrichelt). Außerdem sind die Zustände |0⟩\left|0\right\rangle, |1⟩\left|1\right\rangle, |+⟩\left|+\right\rangle, und |−⟩\left|-\right\rangle aus Gl. 2.34 dargestellt.