2.4.1 Rotationen

Bisher wissen wir nur, wie man die Zustände $\left|0\right\rangle$ und $\left|1\right\rangle$ mit Quirky baut. Quanteninformatik wäre aber nicht besonders interessant, wenn das unsere einzigen Optionen wären! Um spannendere Zustände zu generieren, müssen wir uns andere Operationen ausdenken.

Eine naheliegende Operation ist, den Kreis um einen festgelegten Winkel zu drehen (rotieren). Lass uns die Rotation um den Winkel $\theta$ einfach $U(\theta)$ nennen. Du kannst immer annehmen, dass der Winkel in $[0,2\pi)$ liegt. Da $\left|0\right\rangle=\left|\psi(0)\right\rangle$ und $\left|1\right\rangle=\left|\psi(\frac{\pi}{2})\right\rangle$ gilt, wirkt die Operation wie folgt auf die Basisvektoren (siehe Abb. 2.5):

U(\theta)\left|0\right\rangle=\left|\psi(\theta)\right\rangle,\qquad U(\theta)% \left|1\right\rangle=\left|\psi(\theta+\tfrac{\pi}{2})\right\rangle.

(2.27)

Wir können diese Definition also in Vektornotation so schreiben:

U(\theta)\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta\\ \sin\theta\end{pmatrix},\qquad U(\theta)\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sin\theta\\ \cos\theta\end{pmatrix},

(2.28)

wobei wir ausgenutzt haben, dass $\cos(\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin\theta$ und $\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=\cos\theta$ .

Abbildung 2.5: Die Zustände

\left|0\right\rangle

und

\left|1\right\rangle

um den Winkel

\theta

gedreht, siehe Gl. 2.27.

Genau wie zuvor auch, können wir die Linearität ausnutzen, um $U(\theta)$ auf allgemeine Qubit-Zustände zu erweitern. In der folgenden Übung wirst du zeigen, dass die daraus folgende Operation $U(\theta)$ tatsächlich einer Rotation von Qubit-Zuständen entspricht. Konkret bedeutet das, dass $U(\theta)$ den Zustandsraum auf sich selbst abbildet, also eine gültige Operation ist.

Übungsaufgabe 2.3 (Qubit-Rotationen).

1.

Berechne $U(\alpha)\begin{pmatrix}\psi_{0}\\ \psi_{1}\end{pmatrix}$ mit Gl. 2.8 und 2.27.
2.

Nutze die Definition von $\left|\psi(\theta)\right\rangle$ aus Gl. 2.5 um zu prüfen, dass für alle Winkel $\alpha$ und $\beta$ folgendes gilt:

$U(\alpha)\left|\psi(\beta)\right\rangle=\left|\psi(\alpha+\beta)\right\rangle.$ (2.29)

Das bedeutet, dass $U(\theta)$ eine Rotation auf beliebigen Qubit-Zuständen entspricht.

Hinweis: Die trigonometrischen Regeln für Winkelsummen und -differenzen könnten hilfreich sein:

\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\qquad\cos(% \alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta.

(2.30)

Lösung.

$U(\alpha)$ wirkt sich wie folgt auf einen beliebigen Zustand aus:

	$\displaystyle U(\alpha)\begin{pmatrix}\psi_{0}\\ \psi_{1}\end{pmatrix}$	$\displaystyle=U(\alpha)\left\lparen\psi_{0}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}+\psi_{1}\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}\right\rparen=\psi_{0}\begin{pmatrix}\cos\alpha\\ \sin\alpha\end{pmatrix}+\psi_{1}\begin{pmatrix}-\sin\alpha\\ \cos\alpha\end{pmatrix}$
		$\displaystyle=\begin{pmatrix}\psi_{0}\cos\alpha-\psi_{1}\sin\alpha\\ \psi_{0}\sin\alpha+\psi_{1}\cos\alpha\end{pmatrix}.$

Da $\left|\psi(\beta)\right\rangle=\begin{pmatrix}\cos\beta\\ \sin\beta\end{pmatrix}$ ,

	$\displaystyle U(\alpha)\left\|\psi(\beta)\right\rangle$	$\displaystyle=U(\alpha)\begin{pmatrix}\cos\beta\\ \sin\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\beta\cos\alpha-\sin\beta\sin\alpha% \\ \cos\beta\sin\alpha+\sin\beta\cos\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(% \alpha+\beta)\\ \sin(\alpha+\beta)\end{pmatrix}$
		$\displaystyle=\left\|\psi(\alpha+\beta)\right\rangle.$

Beachte dass eine Rotation um 90 Grad (also $\pi/2$ ) nicht einer Spiegelung entspricht. Zwar bilden sowohl die $\mathrm{NOT}$ -Operation als auch $U(\pi/2)$ den Zustand $\left|0\right\rangle$ auf $\left|1\right\rangle$ ab, aber auf $\left|1\right\rangle$ haben sie unterschiedliche Wirkungen:

\mathrm{NOT}\left|1\right\rangle=\left|0\right\rangle,\qquad U(\pi/2)\left|1% \right\rangle=-\left|0\right\rangle.

Wie können wir eine solche Rotation in Quirky ausführen? Da es unendlich viele Rotationen $U(\theta)$ gibt, können nicht alle in der Toolbox enthalten sein. Stattdessen kannst du die Rotationen, die du benötigst, selbst in die Toolbox hinzufügen! Probier doch einfach mal, eine Rotation um $30^{\circ}$ hinzuzufügen. Tippe zunächst auf ‘Make $U(\theta)$ ’ im Menü. Ein neues Fenster mit einem Eingabefeld für den Winkel sollte sich öffnen:

Gib pi/6, was $30^{\circ}$ entspricht, ein und bestätige mit der OK-Taste. Glückwunsch! Du hast erfolgreich die $U(\pi/6)$ -Rotation in die Toolbox hinzugefügt, welche jetzt so aussieht:

Die neue Rotation können wir mit folgendem Schaltkreis erst einmal in Quirky testen:

Lass uns noch schnell überprüfen, ob diese Ausgabe Sinn ergibt. Wir haben mit dem $\left|0\right\rangle=\bigl{(}\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\bigr{)}$ Zustand gestartet. Nach Gl. 2.28 bildet $U(\theta)$ den Zustand $\left|0\right\rangle$ auf $\left|\psi(\theta)\right\rangle=\bigl{(}\begin{smallmatrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{smallmatrix}\bigr{)}$ ab. Für unseren Fall gilt $\theta=\pi/6$ und damit

\displaystyle\left|\psi(\pi/6)\right\rangle=\begin{pmatrix}\cos(\pi/6)\\ \sin(\pi/6)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt{3}/2\\ 1/2\end{pmatrix}.

Nach den Regeln der Quantenmessung aus Gl. 2.7 können wir schließen, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis $1$ wie folgt ist

\displaystyle p_{1}=\left\lparen\frac{1}{2}\right\rparen^{2}=\frac{1}{4}=25\%,

was genau der Ausgabe von Quirky entspricht. In der folgenden Hausaufgabe wirst du Quirky nutzen um den Effekt von $U(\theta)$ auf den anderen Basisvektor $\left|1\right\rangle$ herauszufinden.

Hausaufgabe 2.3 (Die $30^{\circ}$ -Rotation testen).

1.

Baue folgende Abfolge von Operationen in Quirky: Bereite zunächst den Zustand $\left|1\right\rangle$ vor, rotiere dann um den Winkel $\pi/6$ und messe schlussendlich das Qubit.
2.

Nutze Quirky’s Wahrscheinlichkeitenanzeige um die Ergebnisse der Messung anzuzeigen. Zeige, dass die Ausgabe von Quirky korrekt ist.
3.

Verändere deinen Schaltkreis so, dass man mit Wahrscheinlichkeit 42% das Messergebnis 1 erhält.

Hack.

1.

The resulting circuit in Quirky should look like this:

We start in the state $\left|0\right\rangle$ , as shown in the circuit above. After applying the NOT operation, the state of the qubit is $\left|1\right\rangle$ . We now use Gl. 2.28, which tells us that the rotation sends $\left|1\right\rangle$ to

\displaystyle U(\pi/6)\left|1\right\rangle=\begin{pmatrix}-\sin\frac{\pi}{6}\\ \cos\frac{\pi}{6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1/2\\ \sqrt{3}/2\end{pmatrix}.

Using Gl. 2.6, we verify that $p_{1}=3/4=75\%$ , which agrees with Quirky’s output.

3.

We will replace the operation $U(\pi/6)$ by another rotation $U(\phi)$ , such that the probability of measuring $1$ becomes $42\%$ . To that end, observe that after applying a rotation by an angle of $\phi$ , the resulting state is:

$U(\phi)\left|1\right\rangle=\begin{pmatrix}-\sin\phi\\ \cos\phi\end{pmatrix}.$

Hence the probability of measuring $1$ is $\cos^{2}\phi$ . Equating this to $42\%$ allows us to solve for the angle of rotation $\phi$ :

$\cos^{2}(\phi)=0.42,\quad\text{implying}\quad\cos(\phi)=\sqrt{0.42}\quad\text{% or}\quad\phi=\arccos(\sqrt{0.42})\approx 0.866.$

Hence, the resulting circuit looks like this:

2.4.1 Rotationen

Übungsaufgabe 2.3 (Qubit-Rotationen).

Hausaufgabe 2.3 (Die 30∘30^{\circ}-Rotation testen).

Hack.

Hausaufgabe 2.3 (Die $30^{\circ}$ -Rotation testen).