2.1.2 Ein Qubit als ein Kreis

Bemerke, dass Gl. 2.4 für Quantenamplituden ähnlich der Gleichung $x^{2}+y^{2}=1$ des Einheitskreises ist. Lass uns versuchen, diese Korrelation genauer zu analysieren, sie wird uns nämlich helfen, Qubits zu visualisieren und sie auf einer intuitiven Ebene zu verstehen.

Es ist sinnvoll, ein Qubit zu parametriseren indem wir

setzen, wobei $\theta\in[0,2\pi)$ ein Winkel ist. Tatsächlich erlauben wir jede reale Zahl für $\theta$ (solange wir daran denken, dass zwei Winkel identisch sind, wenn sie die Distanz $2\pi$ haben). Da $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$ gilt, ist Gl. 2.4 automatisch erfüllt. Bei dieser Wahl für $\psi_{0}$ und $\psi_{1}$ sieht ein allgemeiner Qubit Zustand so aus:

Diesen Zustand können wir uns als zweidimensionalen Vektor vorstellen, der am Ursprung beginnt und Winkel $\theta$ zur horizontalen Achse $\left|0\right\rangle$ hat (siehe Abb. 2.1). Insbesondere gilt $\left|0\right\rangle=\left|\psi(0)\right\rangle$ und $\left|1\right\rangle=\left|\psi(\frac{\pi}{2})\right\rangle$. Damit ergibt die Menge aller Qubit Zustände den Einheitskreis, mit Zentrum im Ursprung. Im Vergleich dazu hatten wir in Abb. 1.2 dargestellt, dass die Zustände eines probabilistischen Bits einer Strecke zwischen $\bigl{(}\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\bigr{)}$ und $\bigl{(}\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\bigr{)}$ auf den Koordinatenachsen entsprechen. Beide Mengen sind in Abb. 2.2 abgebildet.