3.2.5 Verschränkte Zustände

In Gl. 3.50 haben wir das Tensorprodukt benutzt, um einen Zwei-Qubit Zustand aus zwei Ein-Qubit Zuständen zu basteln. In Abschnitt 3.2.3 haben wir gesehen, dass diese Produktzustände genau die gleichen Zustände sind, die wir erhalten, wenn wir lokale Quantenoperationen auf |00⟩=|0⟩⊗|0⟩\left|00\right\rangle=\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle anwenden (was wiederum ein Produktzustand ist). Nun, es existieren auch Zwei-Qubit Zustände, die nicht Produktzustände sind. Wir nennen diese Zustände verschränkt und wir werden sehen, dass sie von Bedeutung für Quantum Computing sind.

Wie können wir entscheiden, ob ein Zustand ein Produktzustand ist oder nicht? Obwohl Quantenzustände durch Amplituden und nicht durch Wahrscheinlichkeiten spezifiziert sind, können wir die gleiche Methode benutzen wie in Abschnitt 3.1.8 um zu entscheiden ob eine Wahrscheinlichkeitsverteilung korreliert ist oder nicht. Haben wir einen Zwei-Qubit Zustand der Form (3.31), benutzen wir zuerst Gl. 3.29 um Folgendes zu berechnen:

Δ⁢(|ψ⟩)=ψ00⁢ψ11−ψ01⁢ψ10.\displaystyle\Delta(\left|\psi\right\rangle)=\psi_{00}\psi_{11}-\psi_{01}\psi_% {10}. (3.67)

Dann ist |ψ⟩\left|\psi\right\rangle ein Produktzustand genau dann wenn Δ⁢(|ψ⟩)=0\Delta(\left|\psi\right\rangle)=0. Auf diese Weise sind verschränkte Zustände analog zu korrelierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Ein simples aber wichtiges Beispiel eines verschränkten Zwei-Qubit Zustandes ist

|Φ+⟩=12⁢|00⟩+12⁢|11⟩.\displaystyle\left|\Phi^{+}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right% \rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|11\right\rangle. (3.68)

Dieser Zustand ist analog zu einem Paar perfekt korrelierter zufälliger Bits aus Gl. 3.28. Er ist verschränkt, da

Δ⁢(|Φ+⟩)=12⋅12−0⋅0=12≠0.\displaystyle\Delta(\left|\Phi^{+}\right\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{% 1}{\sqrt{2}}-0\cdot 0=\frac{1}{2}\neq 0.

Wir nennen |Φ+⟩\left|\Phi^{+}\right\rangle den maximal verschränkten Zustand von zwei Qubits (obwohl weder der Grund für den Namen noch die merkwürdige Notation zu diesem Zeitpunkt klar sind).


Wie können wir verschränkte Zustände bilden? Genau wie wir auch korrelierte Zwei-Bit-Zustände gebildet haben, können wir die kontrollierte NOT-Operation benutzen, um zwei Qubits interagieren zu lassen. Zum Beispiel bereitet die folgende Sequenz von Operationen den maximal verschränkten Zustand |Φ+⟩\left|\Phi^{+}\right\rangle vor:

[Uncaptioned image]

Verifizieren wir dies kurz:

CNOT1→2⁢(H⊗I)⁢|00⟩=CNOT1→2⁢(12⁢|00⟩+12⁢|10⟩)=12⁢|00⟩+12⁢|11⟩.\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\left(H\otimes I\right)\left|00\right% \rangle=\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right\rangle+% \frac{1}{\sqrt{2}}\left|10\right\rangle\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00% \right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|11\right\rangle.

Beachte, dass die Anwendung von CNOT auf |00⟩\left|00\right\rangle (oder jeglichen anderen Basiszustand) nicht funktioniert hätte (s. Gl. 3.63).

Hausaufgabe 3.6 (Ein weiterer verschränkter Zustand).
  1. 1.
    ​

    Verifiziere, dass der Zustand |ψ⟩=12⁢|01⟩+32⁢|10⟩\left|\psi\right\rangle=\frac{1}{2}\left|01\right\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}% \left|10\right\rangle verschränkt ist.

    Hinweis: Berechne Gl. 3.67.

  2. 2.
    ​

    Finde eine Sequenz von Operationen in Quirky, die den Zustand |ψ⟩\left|\psi\right\rangle vorbereitet.

    Hinweis: Du musst möglicherweise eine geeignete Rotation konstruieren.

  3. 3.
    ​

    Was sind die Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse, wenn du beide Qubits von |ψ⟩\left|\psi\right\rangle misst? Benutze Quirky um dein Ergebnis zu überprüfen.

Hack.
  1. 1.
    ​

    We calculate Δ⁢(|ψ⟩)=−34≠0\Delta(\left|\psi\right\rangle)=-\frac{\sqrt{3}}{4}\neq 0. The fact that this is non-zero implies that |ψ⟩\left|\psi\right\rangle is entangled.

  2. 2.
    ​

    We can get the two desired amplitudes from cos⁡(π/3)=12\cos(\pi/3)=\frac{1}{2} and sin⁡(π/3)=32\sin(\pi/3)=\frac{\sqrt{3}}{2}. This suggests that we use a rotation U⁢(θ)U(\theta) with angle θ=π/3\theta=\pi/3 in the following way:

    [Uncaptioned image]

    This does indeed the job:

    CNOT1→2⁢(U⁢(π/3)⊗NOT)⁢|00⟩\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\big{\lparen}U(\pi/3)\otimes\mathrm{NOT}% \big{\rparen}\left|00\right\rangle =CNOT1→2⁢(12⁢|01⟩+32⁢|11⟩)\displaystyle=\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\left(\frac{1}{2}\left|01\right\rangle+% \frac{\sqrt{3}}{2}\left|11\right\rangle\right)
    =12⁢|01⟩+32⁢|10⟩.\displaystyle=\frac{1}{2}\left|01\right\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}\left|10% \right\rangle.
  3. 3.
    ​

    We get [01][01] with probability 14\frac{1}{4} and [10][10] with probability 34\frac{3}{4}. Indeed:

    [Uncaptioned image]

Der maximal verschränkte Zustand in Gl. 3.68 ist aus einer Familie von vier Zuständen, die Bell Zustände genannt werden. Die Bell Zustände sind wie folgt definiert:

|Φ+⟩\displaystyle\left|\Phi^{+}\right\rangle =12⁢|00⟩+12⁢|11⟩,\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|% 11\right\rangle, (3.69)
|Φ−⟩\displaystyle\left|\Phi^{-}\right\rangle =12⁢|00⟩−12⁢|11⟩,\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}\left|% 11\right\rangle, (3.70)
|Ψ+⟩\displaystyle\left|\Psi^{+}\right\rangle =12⁢|01⟩+12⁢|10⟩,\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|01\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|% 10\right\rangle, (3.71)
|Ψ−⟩\displaystyle\left|\Psi^{-}\right\rangle =12⁢|01⟩−12⁢|10⟩.\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|01\right\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}\left|% 10\right\rangle. (3.72)

Die Zustände sind nach John Steward Bell benannt, welcher einer der ersten Menschen war, die die außergewöhnlichen Eigenschaften von Quantenverschränkung (engl. quantum entanglement) erkannt hat. Wie können wir diese vier Bell Zustände erzeugen? Oben haben wir gesehen, dass wir |Φ+⟩\left|\Phi^{+}\right\rangle erzeugen können, indem wir die Hadamard- und CNOT-Operation auf den Basiszustand |00⟩\left|00\right\rangle anwenden. Es ist eine einfache Aufgabe zu überprüfen, dass die anderen drei Bell Zustände ähnlich konstruiert werden können, also durch Anwenden der gleichen Operationen auf die anderen drei Basiszustände. Anders gesagt, wenn wir die folgende Operationen definieren:

UBell=CNOT1→2⁢(H⊗I)U_{\text{Bell}}=\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\left(H\otimes I\right) (3.73)

dann

|Φ+⟩=UBell⁢|00⟩,|Φ−⟩=UBell⁢|10⟩,\displaystyle\left|\Phi^{+}\right\rangle=U_{\text{Bell}}\left|00\right\rangle,% \qquad\left|\Phi^{-}\right\rangle=U_{\text{Bell}}\left|10\right\rangle,
|Ψ+⟩=UBell⁢|01⟩,|Ψ−⟩=UBell⁢|11⟩.\displaystyle\left|\Psi^{+}\right\rangle=U_{\text{Bell}}\left|01\right\rangle,% \qquad\left|\Psi^{-}\right\rangle=U_{\text{Bell}}\left|11\right\rangle.
Übungsaufgabe 3.12 (Bell Zustände vorbereiten).

Zeichne, wie du die anderen drei Bell Zustände in Quirky konstruieren würdest: |Φ−⟩\left|\Phi^{-}\right\rangle, |Ψ+⟩\left|\Psi^{+}\right\rangle, and |Ψ−⟩\left|\Psi^{-}\right\rangle.

Lösung.
  • •
    ​

    |Φ−⟩\left|\Phi^{-}\right\rangle:

    [Uncaptioned image]

  • •
    ​

    |Ψ+⟩\left|\Psi^{+}\right\rangle:

    [Uncaptioned image]

  • •
    ​

    |Ψ−⟩\left|\Psi^{-}\right\rangle:

    [Uncaptioned image]

Übungsaufgabe 3.13 (Bell Zustände unterscheiden).

Alices Roboteresel ist während einer Entdeckungsmission abhandengekommen! Er will Alice schnell seine Position wissen lassen, damit sie ihn retten kann. Der Esel ist in einer der vier Gegenden um die Schule. Um mitzuteilen in welcher, sendet der Esel eine Zwei-Qubit Quantennachricht |x,y⟩\left|x,y\right\rangle, wobei x∈{0,1}x\in\{0,1\} die xx Koordinate und y∈{0,1}y\in\{0,1\} die yy Koordinate der Lage beschreiben:

[Uncaptioned image]

Leider hat Alices böse Klassenkameradin Eve das Signal blockiert, d.h. was Alice stattdessen erhält ist einer der vier Bell Zustände wie oben gezeigt. Hilf Alice dabei, korrekt das Signal zu dekodieren und den Esel zu orten! D.h., finde eine Sequenz von Operationen, die jeden der vier Bell Zustände auf den entsprechenden Basiszustand |x,y⟩\left|x,y\right\rangle zurückführt.

Lösung. Beache, dass dies das Gleiche ist, wie die Operation UBellU_{\text{Bell}} in Gl. 3.73 zu invertieren. Erinneren wir uns, dass UBell=CNOT1→2⁢(H⊗I)U_{\text{Bell}}=\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\left(H\otimes I\right). Dies ist eine Zusammensetzung von Operationen, also wissen wir durch 2.5, dass
UBell−1=(H⊗I)−1⁢CNOT1→2−1=(H−1⊗I)⁢CNOT1→2−1.U_{\text{Bell}}^{{-1}}=(H\otimes I)^{{-1}}\,\mathrm{CNOT}_{1\to 2}^{{-1}}=(H^{% {-1}}\otimes I)\,\mathrm{CNOT}_{1\to 2}^{{-1}}.
Durch Gl. 3.66 wissen wir, dass CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2} selbstinvers ist, also CNOT1→2−1=CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2}^{{-1}}=\mathrm{CNOT}_{1\to 2}. Es ist auch wahr, dass H−1=HH^{{-1}}=H (dies gilt tatsächlich für jede Art von Reflektion). Dies impliziert, dass wir UBellU_{\text{Bell}} rückgängig machen können, indem wir die beiden Operationen in umgekehrter Reihenfolge anwenden:
UBell−1=(H⊗I)⁢CNOT1→2.U_{\text{Bell}}^{{-1}}=(H\otimes I)\,\mathrm{CNOT}_{1\to 2}.
D.h., wir wenden zuerst CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2} und dann HH an, wie in:

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