3.2.6 Verschränkung und Korrelationen

Durch die Ähnlichkeit zwischen verschränkten Zuständen und korrelierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen magst du dich bereits gefragt haben, inwiefern die beiden Notationen verwandt sind. Um sie zu vergleichen, lass uns die generelle Relation zwischen Quantenzuständen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskutieren.

Um anzufangen, nehmen wir an, dass wir den Ein-Qubit Zustand $\left|\psi\right\rangle=\psi_{0}\left|0\right\rangle+\psi_{1}\left|1\right\rangle$ haben und ihn messen. Dann wissen wir von Abschnitt 2.2, dass das Ausgabebit entweder 0 oder 1 ist mit Wahrscheinlichkeiten $\psi_{0}^{2}$ und $\psi_{1}^{2}$. Wir können dies durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung modellieren:

Intuitiv modelliert dies die Situation, wo wir das Qubit messen aber nicht das Ergebnis angeschaut haben (hätten wir dies getan, hätten wir nicht ein probabilistisches Bit, aber ein deterministisches, welches entweder $0$ oder $1$ ist).

Die gleiche Logik funktioniert auch für zwei Qubits. Wenn wir eine Zwei-Qubit Zustand $\left|\psi\right\rangle=\psi_{00}\left|00\right\rangle+\psi_{01}\left|01\right\rangle+\psi_{10}\left|10\right\rangle+\psi_{11}\left|11\right\rangle$ messen, können wir das Ergebnis beschreiben durch die folgende Zufallsverteilung:

Wenn wir beispielsweise den maximal verschränkten Zustand $\left|\Phi^{+}\right\rangle$ vorbereiten und messen, dann erhalten wir ein perfekt korreliertes Paar von Zufallsbits in Gl. 3.28. Wir können dies mittels Quirky bestätigen:

Das Gleiche gilt natürlich, wenn wir den Bell Zustand $\left|\Phi^{-}\right\rangle$ stattdessen benutzen. (Was ist mit den anderen beiden Bell Zuständen $\left|\Psi^{+}\right\rangle$ oder $\left|\Psi^{-}\right\rangle$? Wenn man diese misst, erhält man ein Paar von perfekt anti-korrelierten Bits, welches man durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\frac{1}{2}[01]+\frac{1}{2}[10]$ beschreiben kann.)

Das vorherige Beispiel war kein Zufall. Es ist tatsächlich so, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung $p$ in Gl. 3.74, die man durch Messen eines Zwei-Qubit Zustands erhält, genau dann korreliert ist, wenn der korrespondierende Quantenzustand $\left|\psi\right\rangle$ verschränkt ist. Um dies zu sehen, nehmen wir an dass $\left|\psi\right\rangle$ ein Produktzustand ist, sodass $\Delta(\left|\psi\right\rangle)=0$. Dann ist $p$ eine Produktverteilung, da

Dies belegt die Behauptung, dass korrelierte Messergebnisse Verschränkung im gemessenen Zustand implizieren.

Beachte, dass Quantenzustände generell mindestens so nützlich sind wie probabilistische Bits, da jede Wahrscheinlichkeitsverteilung durch Messen eines geeigneten Quantenzustands erhalten werden kann. D.h., gegeben eine beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p$ können wir immer einen Quantenzustand $\left|\psi\right\rangle$ finden, wessen Messergebnis gemäß $p$ verteilt ist. Zum Beispiel können wir für eine Zwei-Bit Verteilung $p$ einfach

wählen.

Insbesondere bedeutet dies, dass Verschränkung generell mindestens so nützlich ist wie probabilistische Korrelationen, da jede korrelierte Verteilung über zwei probabilistische Bits erzeugt werden kann, indem wir einen bestimmten Zwei-Qubit Zustand messen.