3.1.8 Korrelierte Verteilungen

Manche Zwei-Bit-Verteilungen sind nicht Produktzustände – sie können nicht wie in Gl. 3.22 oder Gl. 3.24 geschrieben werden, egal welche Werte du für $q_{a}$ und $r_{b}$ wählst. Wir werden eine Verteilung korreliert nennen, wenn sie keine Produktverteilung ist. Ein Beispiel einer korrelierten Verteilung ist

Wir können zeigen, dass dieser Zustand kein Produktzustand ist, indem wir annehmen, wir haben eines der beiden Bits gemessen. Das Ergebnis $a$ dieser Messung ist komplett zufällig, also entweder $0$ oder $1$ mit jeweils $50\%$. Aber sobald wir $a$ kennen, ist der Zustand des anderen Bits deterministisch – es zu messen würde mit $100\%$ das gleiche Ergebnis liefern. Also ist der Zustand des Bits $b=a$, hängt also vom Messergebnis $a$ des gemessenen Bits abhängig. In 3.5 haben wir gesehen, dass das bei Produktzuständen nicht passieren kann. Damit haben wir bewiesen, dass Gl. 3.28 einen korrelierten Zustand beschreibt. Tatsächlich sind die beiden Bits sogar perfekt korreliert, da die Messergebnisse zwar zufällig, aber immer identisch sind ($a=b$). Aufgrund dieser Eigenschaft nennen wir Gl. 3.28 ein Paar perfekt korrelierter Zufallsbits.

Korrelierte Verteilungen entstehen auf natürliche Weise durch eine Art von Interaktion. Nimm zum Beispiel an, du wirfst eine Münze und schreibst das Ergebnis auf einen Zettel, den du in einem Briefumschlag verschließt und einer anderen Person gibst. Aus der Sicht der anderen Person (die zwar deine Vorgehensweise, nicht aber das Ergebnis des Münzwurfs kennt) lässt sich der Zustand deiner Münze (Bit 1) und des Papiers im Umschlag (Bit 2) durch

$$\frac{1}{2}\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/0.png}}}\otimes\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/envelope-heads-de.pdf}}}+\frac{1}{2}\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/1.png}}}\otimes\vbox{\hbox{\includegraphics[width=30.0pt]{figs/envelope-tails-de.pdf}}}$$

beschreiben, was nichts anderes als eine unterhaltsame Schreibweise des Zustands in Gl. 3.28 ist.

Wie können wir also in Quirky korrelierte Zustände herstellen? Lokale Operationen alleine reichen nicht aus, da diese nur zu Produktzuständen führen. Wir können aber die kontrollierte-NOT-Operation nutzen, um die zwei Bits im folgenden Schaltkreis interagieren zu lassen:

Warum funktioniert das?

Wenn du prüfen willst, ob eine beliebige Zwei-Bit-Verteilung

einem Produkt- oder korreliertem Zustand entspricht, kannst du einfach das folgende Maß berechnen:

Wenn $\Delta(p)=0$, dann ist $p$ ein Produktzustand; anderenfalls ist es eine korrelierte Verteilung. Zum Beispiel gilt für den Zustand aus Gl. 3.28:

was bestätigt, dass dieser Zustand tatsächlich korreliert ist und keine Produktverteilung. Wenn du jetzt neugierig bist und wissen willst, wieso diese Bedingung korrekt ist, findest du die Erklärung unterhalb. Da sie aber nicht unbedingt erforderlich für das Verständnis ist, kannst du sie auch überspringen.

Wir können den Beweis, dass $\Delta(p)=0$ genau dann, wenn $p$ ein Produktzustand ist, in zwei Schritte unterteilen. Zunächst zeigen wir, dass wenn $p$ ein Produktzustand ist, $\Delta(p)=0$ gelten muss. Wenn $p=q\otimes r$ ist, gilt tatsächlich

Aber was ist mit der Umkehrung – könnte $\Delta(p)=0$ sein, auch wenn $p$ kein Produktzustand ist? Nein, das ist nicht möglich! Um das zu zeigen, nehmen wir zunächst an, dass $\Delta(p)=0$ ist und zeigen, dass dadurch $p=q\otimes r$, wobei $q,r$ probabilistische Bits sind. Wir wählen die Bits wie folgt:

Aus Abb. 3.3 geht hervor, dass $q$ und $r$ einfach die Verteilung der Messergebnisse sind, wenn wir jeweils das erste oder zweite Bit messen. Nun können wir überprüfen, dass unsere Wahl von $q$ und $r$ tatsächlich den Zustand $p$ produziert:

Hier haben wir zunächst Gl. 3.26 verwendet, dann ausmultipliziert, anschließend ausgenutzt, dass $\Delta(p)=0$ gilt und somit $\boldsymbol{p_{01}p_{10}}$ durch $\boldsymbol{p_{00}p_{11}}$ ersetzt werden kann (siehe Gl. 3.29). Und zum Schluss haben wir $p_{00}+p_{01}+p_{10}+p_{11}=1$ zusammengefasst, da $p$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein muss. Die drei als “…” abgekürzten Terme können analog behandelt werden. Kannst du die Lücken selbst füllen und einen der Terme alleine verifizieren?

Wir haben bereits in 3.5 gesehen, dass $p$ kein Produktzustand sein kann, wenn die Messung des ersten Bits den Zustand des zweiten Bits “stört”. Tatsächlich gilt auch die Umkehrung dieser Aussage, wie du in der folgenden Hausaufgabe beweisen kannst.