3.1.5 Die SWAP-Operation

Wir wissen bereits, wie man einzelne probabilistischen Bits manipuliert und wollen natürlich auf mehreren probabilistischen Bits gleichzeitig Operationen anwenden. Eine der einfachsten Zwei-Bit Operationen ist die SWAP\mathrm{SWAP}-Operation, die zwei Bits vertauscht:

SWAP⁢[00]\displaystyle\mathrm{SWAP}\,[00] =[00],\displaystyle=[00],
SWAP⁢[01]\displaystyle\mathrm{SWAP}\,[01] =[10],\displaystyle=[10],
SWAP⁢[10]\displaystyle\mathrm{SWAP}\,[10] =[01],\displaystyle=[01],
SWAP⁢[11]\displaystyle\mathrm{SWAP}\,[11] =[11].\displaystyle=[11].

SWAP\mathrm{SWAP} vertauscht also sozusagen die beiden Zustände [01][01] und [10][10] miteinander und lässt die anderen beiden unberührt. Die obenstehenden Gleichungen können also so zusammengefasst werden:

SWAP⁢[a,b]=[b,a],\mathrm{SWAP}\,[a,b]=[b,a], (3.18)

für alle a,b∈{0,1}a,b\in\{0,1\}, wobei das Komma die die beiden Bits voneinander trennt. Wie sonst auch, können wir SWAP\mathrm{SWAP} auch durch Linearität auf probabilistische Bits erweitern:

SWAP(\displaystyle\mathrm{SWAP}\,\bigl{(} p00[00]+p01[01]+p10[10]+p11[11])\displaystyle p_{00}[00]+p_{01}[01]+p_{10}[10]+p_{11}[11]\bigr{)}
=\displaystyle={} p00⁢[00]+p01⁢[10]+p10⁢[01]+p11⁢[11]\displaystyle p_{00}[00]+p_{01}[10]+p_{10}[01]+p_{11}[11]
=\displaystyle={} p00⁢[00]+p10⁢[01]+p01⁢[10]+p11⁢[11].\displaystyle p_{00}[00]+p_{10}[01]+p_{01}[10]+p_{11}[11].
Übungsaufgabe 3.3 ( SWAP\mathrm{SWAP} in der 4-Vektorschreibweise (optional) ).

Schreibe die SWAP\mathrm{SWAP}-Operation auf zwei probabilistischen Bits in der 4-Vektorschreibweise.

Lösung.
SWAP⁢(p00p01p10p11)=(p00p10p01p11).\displaystyle\mathrm{SWAP}\begin{pmatrix}p_{00}\\ p_{01}\\ p_{10}\\ p_{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{00}\\ p_{10}\\ p_{01}\\ p_{11}\end{pmatrix}.