3.1.2 Lokale Operationen

Auf zwei oder mehr probabilistischen Bits kann man eine Vielzahl verschiedener Operationen ausführen. Insbesondere kann man entweder auf allen gleichzeitig eine globale Operation oder auf einem einzelnen Bit eine lokale Operation ausführen. Zunächst betrachten wir nur lokale Operationen.

Erinnere dich an die NOT\mathrm{NOT}-Operation aus Abschnitt 1.2, die ein einzelnes Bit flippt. Was passiert, wenn wir zwei Bits haben, aber NOT\mathrm{NOT} nur auf eines davon anwenden? In diesem Fall sollte das erste Bit geflippt werden, während das zweite unverändert bleibt. Das bedeutet, dass die lokale NOT\mathrm{NOT}-Operation auf dem ersten Bit, die wir NOT1\mathrm{NOT}_{1} nennen, sich wie folgt verhält:

NOT1⁢[0⁢0]=[1⁢0],NOT1⁢[0⁢1]=[1⁢1],NOT1⁢[1⁢0]=[0⁢0],NOT1⁢[1⁢1]=[0⁢1].\mathrm{NOT}_{1}\,[{\color[rgb]{0,0,1}0}0]=[{\color[rgb]{0,0,1}1}0],\quad% \mathrm{NOT}_{1}\,[{\color[rgb]{0,0,1}0}1]=[{\color[rgb]{0,0,1}1}1],\quad% \mathrm{NOT}_{1}\,[{\color[rgb]{0,0,1}1}0]=[{\color[rgb]{0,0,1}0}0],\quad% \mathrm{NOT}_{1}\,[{\color[rgb]{0,0,1}1}1]=[{\color[rgb]{0,0,1}0}1]. (3.6)

Analog verhält sich die NOT\mathrm{NOT}-Operation auf dem zweiten Bit, also NOT2\mathrm{NOT}_{2}, so:

NOT2⁢[0⁢0]=[0⁢1],NOT2⁢[0⁢1]=[0⁢0],NOT2⁢[1⁢0]=[1⁢1],NOT2⁢[1⁢1]=[1⁢0].\mathrm{NOT}_{2}\,[0{\color[rgb]{1,0,0}0}]=[0{\color[rgb]{1,0,0}1}],\quad% \mathrm{NOT}_{2}\,[0{\color[rgb]{1,0,0}1}]=[0{\color[rgb]{1,0,0}0}],\quad% \mathrm{NOT}_{2}\,[1{\color[rgb]{1,0,0}0}]=[1{\color[rgb]{1,0,0}1}],\quad% \mathrm{NOT}_{2}\,[1{\color[rgb]{1,0,0}1}]=[1{\color[rgb]{1,0,0}0}]. (3.7)

Bisher haben wir die lokale NOT\mathrm{NOT}-Operation auf deterministischen Bits beschrieben. Wie sollten wir diese Definition auf probabilistische Bits erweitern? Erinnere dich daran, dass wir in Abschnitt 1.2.1 gezeigt haben, dass jede vollständig auf deterministischen Bits definierte Operation durch Linearität auf probabilistische Bits erweitert werden kann. Zum Beispiel verhält sich NOT2\mathrm{NOT}_{2} auf zwei probabilistischen so:

NOT2(\displaystyle\mathrm{NOT}_{2}\,\bigl{(} p00[00]+p01[01]+p10[10]+p11[11])\displaystyle p_{00}[0{\color[rgb]{1,0,0}0}]+p_{01}[0{\color[rgb]{1,0,0}1}]+p_% {10}[1{\color[rgb]{1,0,0}0}]+p_{11}[1{\color[rgb]{1,0,0}1}]\bigr{)}
=\displaystyle={} p00⁢[0⁢1]+p01⁢[0⁢0]+p10⁢[1⁢1]+p11⁢[1⁢0]\displaystyle p_{00}[0{\color[rgb]{1,0,0}1}]+p_{01}[0{\color[rgb]{1,0,0}0}]+p_% {10}[1{\color[rgb]{1,0,0}1}]+p_{11}[1{\color[rgb]{1,0,0}0}]
=\displaystyle={} p01⁢[0⁢0]+p00⁢[0⁢1]+p11⁢[1⁢0]+p10⁢[1⁢1],\displaystyle p_{01}[0{\color[rgb]{1,0,0}0}]+p_{00}[0{\color[rgb]{1,0,0}1}]+p_% {11}[1{\color[rgb]{1,0,0}0}]+p_{10}[1{\color[rgb]{1,0,0}1}],

wobei wir im ersten Schritt Gl. 3.7 genutzt haben und anschließend die Terme nach den Zuständen sortiert haben. Das kannst du natürlich auch in der 4-Vektor Notation schreiben, dann ist das Ergebnis aber vielleicht weniger intuitiv:

NOT2⁢(p00p01p10p11)=(p01p00p11p10).\mathrm{NOT}_{2}\begin{pmatrix}p_{00}\\ p_{01}\\ p_{10}\\ p_{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{01}\\ p_{00}\\ p_{11}\\ p_{10}\end{pmatrix}. (3.8)
Übungsaufgabe 3.1 ( NOT1\mathrm{NOT}_{1} in der 4-Vektor Notation (optional) ).

Schreibe die Auswirkung von NOT1\mathrm{NOT}_{1} auf zwei probabilistischen Bits analog zu Gl. 3.8 in der 4-Vektor Notation.

Lösung.
NOT1⁢(p00p01p10p11)=(p10p11p00p01).\displaystyle\mathrm{NOT}_{1}\begin{pmatrix}p_{00}\\ p_{01}\\ p_{10}\\ p_{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{10}\\ p_{11}\\ p_{00}\\ p_{01}\end{pmatrix}.

Eine Ein-Bit-Operation kannst du in Quirky anwenden, indem du das zugehörige Symbol aus der Toolbox auf den entsprechenden Draht ziehst. Der folgende Schaltkreis generiert zum Beispiel den Zustand [10][10] und zeigt die Wahrscheinlichkeiten, wenn man beide Bits misst.

[Uncaptioned image]

Das ergibt Sinn, da der untere Draht in Quirky dem ersten Bit entspricht.

Genauso können wir zuerst das eine und anschließend das andere Bit flippen um den Zustand [11][11] zu erhalten:

[Uncaptioned image]

Offensichtlich ist die Reihenfolge, in der wir die Operationen anwenden irrelevant. Also können wir sie auch parallel anwenden.

[Uncaptioned image]

Genauso können wir auch zufällige Operationen auf eines der beiden Bits anwenden. Nehmen wir mal an, wir wenden die Operation R⁢(r)R(r), die das Bit mit Wahrscheinlichkeit rr auf 0 setzt(Gl. 1.27), auf das erste Bit an. Da R⁢(r)⁢[0]=[0]R(r)[0]=[0] gilt, erhalten wir

R⁢(r)1⁢[0⁢0]=[0⁢0],R⁢(r)1⁢[0⁢1]=[0⁢1].\displaystyle R(r)_{1}[{\color[rgb]{0,0,1}0}0]=[{\color[rgb]{0,0,1}0}0],\qquad R% (r)_{1}[{\color[rgb]{0,0,1}0}1]=[{\color[rgb]{0,0,1}0}1]. (3.9)

Außerdem gilt R⁢(r)⁢[1]=r⁢[0]+(1−r)⁢[1]R(r)[1]=r[0]+(1-r)[1], woraus folgt, dass

R⁢(r)1⁢[1⁢0]=r⁢[0⁢0]+(1−r)⁢[1⁢0],R⁢(r)1⁢[1⁢1]=r⁢[0⁢1]+(1−r)⁢[1⁢1].\displaystyle R(r)_{1}[{\color[rgb]{0,0,1}1}0]=r[{\color[rgb]{0,0,1}0}0]+(1-r)% [{\color[rgb]{0,0,1}1}0],\qquad R(r)_{1}[{\color[rgb]{0,0,1}1}1]=r[{\color[rgb% ]{0,0,1}0}1]+(1-r)[{\color[rgb]{0,0,1}1}1]. (3.10)

Wenn wir also den Zustand [11][11] haben und auf das erste Bit R⁢(1/3)R(1/3) anwenden, erhalten wir

R⁢(1/3)1⁢[11]=13⁢[01]+23⁢[11],\displaystyle R(1/3)_{1}[11]=\frac{1}{3}[01]+\frac{2}{3}[11], (3.11)

wie Quirky bestätigt:

[Uncaptioned image]

In der Hausaufgabe schaust du dir das folgende Beispiel an, welches sich noch spannender verhält:

[Uncaptioned image]
\href https://www.quantum-quest.org/quirky/QuirkyQuest3P.html#circuit=%7B%22% cols%22%3A%5B%5B%22NOT%22%2C%22NOT%22%5D%2C%5B%22~d1kc%22%2C%22~d1kc%22%5D%2C%% 5B%22Chance2%22%5D%5D%2C%22gates%22%3A%5B%7B%22id%22%3A%22~d1kc%22%2C%22name%2% 2%3A%22R(1%2F3)%22%2C%22matrix%22%3A%22%7B%7B1%2C0.3333333%7D%2C%7B0%2C0.66666% 67%7D%7D%22%7D%5D%7D (3.12)
Hausaufgabe 3.1 (R⁢(r)R(r) auf dem zweiten Bit).
  1. 1.
    ​

    Schreibe analog zu Gl. 3.9 und 3.10 die Formeln für R⁢(r)2R(r)_{2} auf.

  2. 2.
    ​

    Erkläre, warum das Ergebnis von Quirky in Gl. 3.12 richtig ist.

Hack.
  1. 1.
    R⁢(r)2⁢[0⁢0]=[0⁢0],\displaystyle R(r)_{2}[0{\color[rgb]{0,0,1}0}]=[0{\color[rgb]{0,0,1}0}],\qquad R⁢(r)2⁢[1⁢0]=[1⁢0],\displaystyle R(r)_{2}[1{\color[rgb]{0,0,1}0}]=[1{\color[rgb]{0,0,1}0}],
    R⁢(r)2⁢[0⁢1]=q⁢[0⁢0]+(1−q)⁢[0⁢1],\displaystyle R(r)_{2}[0{\color[rgb]{0,0,1}1}]=q[0{\color[rgb]{0,0,1}0}]+(1-q)% [0{\color[rgb]{0,0,1}1}],\qquad R⁢(r)2⁢[1⁢1]=q⁢[1⁢0]+(1−q)⁢[1⁢1].\displaystyle R(r)_{2}[1{\color[rgb]{0,0,1}1}]=q[1{\color[rgb]{0,0,1}0}]+(1-q)% [1{\color[rgb]{0,0,1}1}]. (3.13)
  2. 2.
    ​

    We start out with [00][00] and flip both bits, resulting in [11][11]. Next, we apply the operation R⁢(1/3)R(1/3) to the first bit, say. We already saw in Gl. 3.11 that the result is

    R⁢(1/3)1⁢[11]=13⁢[01]+23⁢[11].\displaystyle R(1/3)_{1}[11]=\frac{1}{3}[01]+\frac{2}{3}[11].

    Finally, we apply R⁢(1/3)R(1/3) to the second bit. By linearity,

    R⁢(1/3)2⁢(13⁢[01]+23⁢[11])\displaystyle R(1/3)_{2}\left(\frac{1}{3}[01]+\frac{2}{3}[11]\right) =13⁢R⁢(1/3)2⁢[01]+23⁢R⁢(1/3)2⁢[11],\displaystyle=\frac{1}{3}R(1/3)_{2}[01]+\frac{2}{3}R(1/3)_{2}[11],
    and now we can use the formulas derived in Gl. 3.13:
    =13⁢(13⁢[00]+23⁢[01])+23⁢(13⁢[10]+23⁢[11])\displaystyle=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}[00]+\frac{2}{3}[01]\right)+\frac{2}% {3}\left(\frac{1}{3}[10]+\frac{2}{3}[11]\right)
    =19⁢[00]+29⁢[01]+29⁢[10]+49⁢[11]\displaystyle=\frac{1}{9}[00]+\frac{2}{9}[01]+\frac{2}{9}[10]+\frac{4}{9}[11]
    ≈(11.1%22.2%22.2%44.4%),\displaystyle\approx\begin{pmatrix}11.1\%\\ 22.2\%\\ 22.2\%\\ 44.4\%\end{pmatrix},

    which is exactly what Quirky showed.