3.2.3 Parallele Operationen

Wenn wir eine Operation auf das erste Qubit anwenden und eine zweite Operation auf das zweite Qubit, dann ist die Reihenfolge der beiden Operationen egal. Das heißt, wenn UU und VV beliebige Operationen auf einem Qubit sind, dann gilt

U1⁢V2=V2⁢U1.\displaystyle U_{1}V_{2}=V_{2}U_{1}. (3.58)

Wir können diesen intuitiven Fakt beweisen, indem wir Gl. 3.56 und 3.57 benutzen. Für jeden Basiszustand |a,b⟩\left|a,b\right\rangle, wobei a,b∈{0,1}a,b\in\{0,1\}, gilt

U1⁢V2⁢|a,b⟩=U1⁢(|a⟩⊗V⁢|b⟩)=U⁢|a⟩⊗V⁢|b⟩=V2⁢(U⁢|a⟩⊗|b⟩)=V2⁢U1⁢|a,b⟩,\displaystyle U_{1}V_{2}\left|a,b\right\rangle=U_{1}\left(\left|a\right\rangle% \otimes V\left|b\right\rangle\right)=U\left|a\right\rangle\otimes V\left|b% \right\rangle=V_{2}\left(U\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle% \right)=V_{2}U_{1}\left|a,b\right\rangle,

Gl. 3.58 folgt durch Linearität.

Dadurch, dass die beiden Operationen auf unterschiedlichen Qubits ausgeführt werden können, können wir sie sogar parallel ausführen! Dies legt nahe, eine neue Notation für die Operation in Gl. 3.58 einzuführen:

U⊗V.\displaystyle U\otimes V.

Wir verwenden erneut das Symbol für das Tensorprodukt, welches wir ursprünglich dafür verwendet hatten um zwei unabhängige Ein-Qubit Zustände in einen Zwei-Qubit Zustand zusammenzuführen. Die gleiche Bedeutung erweitert sich auch auf Quantenoperationen: U⊗VU\otimes V bezeichnet die kombinierte Operation, die daraus besteht UU und VV auf zwei Untersystem von einem größeren System anzuwenden. Diese Notation ist besonders praktisch, da sie im Zusammenspiel mit dem ursprünglichen Tensorprodukt für Zustände ist:

(U⊗V)⁢(|α⟩⊗|β⟩)=U⁢|α⟩⊗V⁢|β⟩.\displaystyle(U\otimes V)(\left|\alpha\right\rangle\otimes\left|\beta\right% \rangle)=U\left|\alpha\right\rangle\otimes V\left|\beta\right\rangle. (3.59)

Diese Gleichung sagt lediglich Folgendes aus: Wenn man zwei unabhängige Zustände hat und dann eine Operation ausführt, welche unabhängig auf beiden Zuständen wirkt, dann führt man lediglich beide Operationen unabhängig auf den entsprechenden Zuständen aus. Wir nennen U⊗VU\otimes V das Tensorprodukt von zwei Quantenoperationen oder eine Paralleloperation.

Quirky erlaubt es uns, lokale Quantenoperationen parallel auszuführen. Zum Beispiel hätten wir die Sequenz von Operationen in Gl. 3.54 schreiben können als

[Uncaptioned image]

wo die NOT\mathrm{NOT}-Operation und die Hadamard-Operation nun parallel ausgeführt werden.

Diskutieren wir ein weiteres Beispiel. Was passiert, wenn wir HH auf beide Qubits anwenden? Diese Operation bezeichnen wir als H⊗HH\otimes H und nach Gl. 2.34 und 3.59 gilt:

(H⊗H)⁢|00⟩\displaystyle(H\otimes H)\left|00\right\rangle =(H⁢|0⟩)⊗(H⁢|0⟩)\displaystyle=(H\left|0\right\rangle)\otimes(H\left|0\right\rangle)
=(12|0⟩+12|1⟩))⊗(12|0⟩+12|1⟩))\displaystyle=\left\lparen\frac{1}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle+\frac{1}{% \sqrt{2}}\left|1\right\rangle)\right\rparen\otimes\left\lparen\frac{1}{\sqrt{2% }}\left|0\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|1\right\rangle)\right\rparen
=12⁢|0⟩⊗|0⟩+12⁢|0⟩⊗|1⟩+12⁢|1⟩⊗|0⟩+12⁢|1⟩⊗|1⟩\displaystyle=\frac{1}{2}\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle+\frac% {1}{2}\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle+\frac{1}{2}\left|1\right% \rangle\otimes\left|0\right\rangle+\frac{1}{2}\left|1\right\rangle\otimes\left% |1\right\rangle
=12⁢(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩).\displaystyle=\frac{1}{2}\left\lparen\left|00\right\rangle+\left|01\right% \rangle+\left|10\right\rangle+\left|11\right\rangle\right\rparen.

Der resultierende Zustand wird uniforme Superposition auf den beiden Qubits genannt, da dieser Zustand jeden Zwei-Qubit Basiszustand mit gleicher Amplitude enthält. Wenn wir eine Messung auf diesem Zustand durchführen, erhalten wir alle vier Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Wir können dies bestätigen mittels Quirky:

[Uncaptioned image]

Übungsaufgabe 3.10 (Einen Produktzustand konstruieren).
  1. 1.
    ​

    Schreibe 12⁢(|00⟩+|01⟩−|10⟩−|11⟩)\frac{1}{2}\left(\left|00\right\rangle+\left|01\right\rangle-\left|10\right% \rangle-\left|11\right\rangle\right) als Tensorprodukt von zwei Ein-Qubit Zuständen.

  2. 2.
    ​

    Wie kannst du diesen Zustand konstruieren, indem du eine Sequenz von lokalen Operationen auf |00⟩\left|00\right\rangle anwendest?

  3. 3.
    ​

    Implementiere die Sequenz von Operation aus Schritt 2 in Quirky.

Lösung.
  1. 1.
    ​

    Der Zustand kann geschrieben werden als

    12⁢(|00⟩+|01⟩−|10⟩−|11⟩)=12⁢(|0⟩−|1⟩)⊗12⁢(|0⟩+|1⟩).\displaystyle\frac{1}{2}\left(\left|00\right\rangle+\left|01\right\rangle-% \left|10\right\rangle-\left|11\right\rangle\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(% \left|0\right\rangle-\left|1\right\rangle\right)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}\left% (\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right).
  2. 2.
    ​

    Dies ist äquivalent zu

    H⁢|1⟩⊗H⁢|0⟩=H⁢NOT⁢|0⟩⊗H⁢|0⟩=(H⁢NOT⊗H)⁢|00⟩.\displaystyle H\left|1\right\rangle\otimes H\left|0\right\rangle=H\,\mathrm{% NOT}\left|0\right\rangle\otimes H\left|0\right\rangle=(H\,\mathrm{NOT}\otimes H% )\left|00\right\rangle.
  3. 3.
    ​

    [Uncaptioned image]

Gl. 3.59 zeigt, dass, wenn wir eine Paralleloperation auf einen Produktzustand anwenden, wir einen weiteren Produktzustand erhalten.

Hausaufgabe 3.5 (Produktzustände von Paralleloperationen).

Zeige, dass jeder Produktzustand konstruiert werden kann, indem man parallele Quantenrotationen (sprich, eine Operation der Form U⁢(θ)⊗U⁢(ϕ)U(\theta)\otimes U(\phi)) auf den Zustand |00⟩\left|00\right\rangle anwendet.

Hinweis: Durch Gl. 2.5 wissen wir, dass ein allgemeiner Ein-Qubit Zustand der Form |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle ist.

Hack.

We can write the two target states as |α⟩=|ψ⁢(θ)⟩\left|\alpha\right\rangle=\left|\psi(\theta)\right\rangle and |β⟩=|ψ⁢(θ′)⟩\left|\beta\right\rangle=\left|\psi(\theta^{\prime})\right\rangle, for some angles θ\theta and θ′\theta^{\prime}. Thus:

(U⁢(θ)⊗U⁢(θ′))⁢|00⟩=U⁢(θ)⁢|0⟩⊗U⁢(θ′)⁢|0⟩=|α⟩⊗|β⟩.\displaystyle\big{\lparen}U(\theta)\otimes U(\theta^{\prime})\big{\rparen}% \left|00\right\rangle=U(\theta)\left|0\right\rangle\otimes U(\theta^{\prime})% \left|0\right\rangle=\left|\alpha\right\rangle\otimes\left|\beta\right\rangle.

The first step is Gl. 3.59 and the second is Gl. 2.27.

Wir beenden unsere Diskussion über lokale Operationen mit einigen allgemeinen Anmerkungen. Zuerst ist es leicht zu überprüfen, dass

(U⊗V)⁢(U′⊗V′)=U⁢U′⊗V⁢V′,\displaystyle(U\otimes V)(U^{\prime}\otimes V^{\prime})=UU^{\prime}\otimes VV^% {\prime}, (3.60)

für alle vier Ein-Qubit Operationen UU, U′U^{\prime}, VV, V′V^{\prime}. Kannst du ein Bild malen, was dies visualisiert?

Wir können nun Nutzen machen von der Einheitsmatrix II von Gl. 2.32, welche I⁢|ψ⟩=|ψ⟩I\left|\psi\right\rangle=\left|\psi\right\rangle erfüllt (dies lässt sich trivialerweise erweitern als I1I_{1} und I2I_{2} auf zwei Qubits). Diese Matrix ist nutzlos, wenn man sie alleine benutzt, da sie nichts verändert. Sie kann aber von Nutzen sein, wenn man die Tensorproduktnotation verwendet. Zum Beispiel erlaubt uns die Operation Folgendes:

U1=U⊗IV2=I⊗V,\displaystyle U_{1}=U\otimes I\qquad\text{}\qquad V_{2}=I\otimes V,

welche klarmacht, dass z.B. U1U_{1} die UU-Operation auf dem ersten Qubit ausführt und nichts auf dem zweiten Qubit. Zum Beispiel wird die Identität U1⁢V2=V2⁢U1U_{1}V_{2}=V_{2}U_{1} von Gl. 3.58 nun

(U⊗I)⁢(I⊗V)=U⊗V=(I⊗V)⁢(U⊗I)(U\otimes I)(I\otimes V)=U\otimes V=(I\otimes V)(U\otimes I) (3.61)

was ziemlich intuitiv ist.

Du könntest dich fragen, ob die Reihenfolge der Operationen jemals eine Rolle spielt, wenn wir sie auf dem gleichen Qubit anwenden. Betrachten wir zwei Rotationen, dann folgt aus Gl. 2.29, dass ihre Reihenfolge nicht wichtig ist, da

U⁢(θ)⁢U⁢(θ′)=U⁢(θ+θ′)=U⁢(θ′+θ)=U⁢(θ′)⁢U⁢(θ).\displaystyle U(\theta)U(\theta^{\prime})=U(\theta+\theta^{\prime})=U(\theta^{% \prime}+\theta)=U(\theta^{\prime})U(\theta).

Wenn UU und VV jedoch zwei beliebige Ein-Qubit Operationen (insbesondere, wenn eine davon eine Reflektion ist), dann ist ihre Zusammensetzung generell abhängig von der Reihenfolge (s. 3.11 unten). Das heißt, dass

U⁢V≠V⁢U.UV\neq VU.

Dieses Problem besteht natürlich weiterhin, wenn man ein weiteres Qubit hat, und weiterhin beide Operationen auf dem gleichen Qubit anwendet. Zum Beispiel

(U⊗I)⁢(V⊗I)=U⁢V⊗I≠V⁢U⊗I=(V⊗I)⁢(U⊗I).(U\otimes I)(V\otimes I)=UV\otimes I\neq VU\otimes I=(V\otimes I)(U\otimes I). (3.62)

Wir können dies auch schreiben als U1⁢V1≠V1⁢U1U_{1}V_{1}\neq V_{1}U_{1} (und gleichermaßen wenn wir beide Operationen auf dem zweiten Qubit anwenden).

Um intuitiv den Unterschied zwischen Gl. 3.61 und 3.62 zu verstehen, stell dir vor, dass UU anzuwenden „eine Socke anzuziehen“ bedeutet und VV „einen Schuh anzuziehen“ bedeutet. Es ist offensichtlich, dass es einen Unterschied macht, wenn man UU und VV auf den gleichen Fuß anwendet und die Reihenfolge ändert. Jedoch, wenn man UU und VV auf verschiedene Füße anwendet (sprich, U⊗IU\otimes I und I⊗VI\otimes V anwendet), dann ist das Resultat immer gleich, unabhängig von der Reihenfolge der Operationen. Wenn man richtig angezogen sein möchte, sollte man jedoch (U⊗U)(U\otimes U) und dann (V⊗V)(V\otimes V) anwenden.

Übungsaufgabe 3.11 (Die Reihenfolge ist wichtig).

Zeige, dass H⁢Z≠Z⁢HHZ\neq ZH.

Lösung. Um zu zeigen, dass H⁢Z≠Z⁢HHZ\neq ZH, reicht es, dass wir verifizieren, dass die Anwendung beider Operationen auf den Zustand |0⟩\left|0\right\rangle unterschiedliche Ergebnisse liefert:
H⁢Z⁢|0⟩\displaystyle HZ\left|0\right\rangle =H⁢|0⟩=12⁢|0⟩+12⁢|1⟩,\displaystyle=H\left|0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle+% \frac{1}{\sqrt{2}}\left|1\right\rangle,
Z⁢H⁢|0⟩\displaystyle ZH\left|0\right\rangle =Z⁢(12⁢|0⟩+12⁢|1⟩)=12⁢|0⟩−12⁢|1⟩.\displaystyle=Z\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}% \left|1\right\rangle\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle-\frac{1}{% \sqrt{2}}\left|1\right\rangle.