3.2.4 Kontrollierte Operationen

Um über Produktzustände hinauszugehen, brauchen wir eine Operation, die es uns erlaubt, dass zwei Quantenbits interagieren. Wie zuvor (s. Gl. 2.32 für probabilistische Bits) werden wir eine kontrollierte NOT-Operation hierfür werden, welche wir in Analogie zu Gl. 3.19 und 3.20 definieren:

CNOT1→2⁢|00⟩\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\left|00\right\rangle =|00⟩,\displaystyle=\left|00\right\rangle, (3.63)
CNOT1→2⁢|01⟩\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\left|01\right\rangle =|01⟩,\displaystyle=\left|01\right\rangle,
CNOT1→2⁢|10⟩\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\left|10\right\rangle =|11⟩,\displaystyle=\left|11\right\rangle,
CNOT1→2⁢|11⟩\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\left|11\right\rangle =|10⟩,\displaystyle=\left|10\right\rangle,

oder knapper:

CNOT1→2⁢|a,b⟩=|a,a⊕b⟩.\displaystyle\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\left|a,b\right\rangle=\left|a,a\oplus b% \right\rangle. (3.64)

D.h., wenn die Operation CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2} auf Basiszustände angewendet wird, schaltet diese das zweite Qubit um (sprich ändert den Wert von 0 auf 1 und umgekehrt) je nach dem Wert des ersten Qubits. Wir können auch die Operation CNOT2→1\mathrm{CNOT}_{2\to 1} definieren, welche das zweite Qubit als Kontrollwert nimmt und das erste Qubit als Ziel.

CNOT2→1⁢|a,b⟩=|a⊕b,b⟩.\displaystyle\mathrm{CNOT}_{2\to 1}\,\left|a,b\right\rangle=\left|a\oplus b,b% \right\rangle. (3.65)

Wie immer können wir diese Formeln mittels Linearität auf beliebige Zwei-Qubit Zustände erweitern.

In Quirky kannst du eine kontrollierte NOT-Operation für Quantenbits in der gleichen Art und Weise bilden, wie du es bereits für gewöhnliche Bits gelernt hast – siehe Abschnitt 3.1.6, falls du dich nicht erinnerst.

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Viele der Dinge, die wir für probabilistische Bits bewiesen haben sind immer noch richtig für Quantenbits. Zum Beispiel erlaubt dir deine Lösung für 3.2 auch zwei Qubits zu tauschen! Ein weiteres Beispiel hierfür ist die Tatsache, dass das Ausführen der gleichen kontrollierten NOT-Operation zweimal hintereinander nichts bewirkt. Zum Beispiel ist dies der Fall für CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2}, weil

CNOT1→2⁢CNOT1→2⁢|a,b⟩=CNOT1→2⁢|a,a⊕b⟩=|a,a⊕a⊕b⟩=|a,b⟩\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\,\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\left|a,b\right\rangle=\mathrm{% CNOT}_{1\to 2}\left|a,a\oplus b\right\rangle=\left|a,a\oplus a\oplus b\right% \rangle=\left|a,b\right\rangle

da a⊕a=0a\oplus a=0 für jedes a∈{0,1}a\in\{0,1\}. Als Konsequenz daraus, ist die kontrollierte NOT-Operation die Inverse zu sich selbst:

CNOT1→2−1=CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2}^{{-1}}=\mathrm{CNOT}_{1\to 2} (3.66)

wobei M−1M^{{-1}} die inverse Operation zu MM bezeichnet (s. Abschnitt 2.4.2).

Wenn du ein bisschen mit Quirky herumspielst, wirst du vielleicht bereits erkannt haben, dass du ∙\bullet mit beliebigen Ein-Qubit Operationen kombinieren kannst, nicht nur mit der NOT-Operation. Tatsächlich können wir die kontrollierte UU-Operation für jede Ein-Qubit Operation UU definieren. Wir bezeichnen diese als C⁢U1→2\mathrm{C}U_{1\to 2} und C⁢U2→1\mathrm{C}U_{2\to 1}, je nachdem welches Qubit das Kontrollbit und welches das Zielbit ist. Zum Beispiel ist C⁢U1→2\mathrm{C}U_{1\to 2} wie folgt auf den vier Basiszuständen definiert:

C⁢U1→2⁢|00⟩\displaystyle\mathrm{C}U_{1\to 2}\left|00\right\rangle =|0⟩⊗|0⟩,\displaystyle=\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle,
C⁢U1→2⁢|01⟩\displaystyle\mathrm{C}U_{1\to 2}\left|01\right\rangle =|0⟩⊗|1⟩,\displaystyle=\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle,
C⁢U1→2⁢|10⟩\displaystyle\mathrm{C}U_{1\to 2}\left|10\right\rangle =|1⟩⊗U⁢|0⟩,\displaystyle=\left|1\right\rangle\otimes U\left|0\right\rangle,
C⁢U1→2⁢|11⟩\displaystyle\mathrm{C}U_{1\to 2}\left|11\right\rangle =|1⟩⊗U⁢|1⟩.\displaystyle=\left|1\right\rangle\otimes U\left|1\right\rangle.

Du kannst leicht überprüfen, dass wir für U=NOTU=\mathrm{NOT} wieder CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2} erhalten.