4.1.2 Bewerkingen

Wat zijn de quantumbewerkingen die we kunnen uitvoeren als we meerdere qubits hebben? Om te beginnen kunnen we de bekende bewerkingen op één of twee qubits, zoals besproken in Paragrafen 2 en 3, toepassen op elke gewenste qubit van een veel-qubit-toestand. Dit werkt zoals in Paragraaf 3.2.2.

Als $U$ bijvoorbeeld een één-qubitbewerking is, dus een rotatie of een spiegeling, dan kunnen we een quantumbewerking definiëren, aangeduid met  $U_{1}$, die $U$ toepast op de eerste qubit van een $n$-qubit-toestand. Deze bewerking wordt als volgt gedefinieerd op de basistoestanden:

Merk op dat het tensorproduct de één-qubit-toestand $U\left|a_{1}\right\rangle$ combineert met de $(n-1)$-qubit-basistoestand $\left|a_{2},\dots,a_{n}\right\rangle$ om een toestand van $n$ qubits te vormen, zoals gewenst. Zoals gewoonlijk breiden we $U_{1}$ lineair uit tot algemene quantumtoestanden van $n$ qubits. Op dezelfde manier definiëren we de quantumbewerkingen $U_{2}$, $U_{3}$, etc. die $U$ toepassen op het tweede, derde, etc. qubit.

We kunnen op dezelfde manier uitvogelen hoe een twee-qubitbewerking toegepast kan worden op twee geselecteerde qubits van de $n$ qubits. We zullen vooral kijken naar controlled-NOT-bewerkingen: $\mathrm{CNOT}_{k\to l}$ met $k\neq l$ is de bewerking die de $l$-de qubit (de doelqubit) omdraait afhankelijk van de waarde van de $k$-de qubit (de controlequbit). Wiskundig gezien ziet de werking op de basistoestanden er als volgt uit:

en we breiden dit voorschrift lineair uit naar arbitraire $n$-qubit-toestanden. De controlled-NOT-bewerking $\mathrm{CNOT}_{1\to 3}$ wordt bijvoorbeeld als volgt gedefinieerd voor vier-qubit-basistoestanden:

Hoe ziet dit er allemaal uit in Quirky? Ga naar

https://www.quantum-quest.org/quirky

en klik op “Quest 4” om het uit te zoeken. Je browser ziet er dan als het goed is hetzelfde uit als Fig. 4.1.

Wacht eens even, het lijkt erop dat Quirky er precies hetzelfde uitziet als vorige week!? Maar zodra je een bewerking oppakt uit de toolbox, verschijnt er een nieuwe draad onderaan – waardoor je met een extra qubit kunt werken. (Natuurlijk hebben we het aantal qubits beperkt tot een redelijk aantal, dat je klassieke computer nog comfortabel kan simuleren!) Probeer maar eens een $\mathrm{CNOT}_{1\to 3}$-bewerking te maken, zoals in de volgende afbeelding.

Wanneer quantumbewerkingen op verschillende qubits werken, kunnen we ze parallel uitvoeren. Net als in Paragraaf 3.2.3 gebruiken we hiervoor het tensorproduct-symbool. Als $U$ een quantumbewerking op $n$ qubits is en $V$ een quantumbewerking op $m$ qubits, kunnen we een quantumbewerking $U\otimes V$ op $(n+m)$ qubits definiëren die neerkomt op het parallel uitvoeren van beide bewerkingen. Op basistoestanden ziet dit eruit als

en we breiden dit uit door lineariteit tot arbitraire toestanden. Uit Vgl. 4.5 volgt dan dat

maar dit geldt alleen als $\left|\alpha\right\rangle$ een $n$-qubit-toestand is en $\left|\beta\right\rangle$ een $m$-qubit-toestand! In de volgende opgave komt dit niet zo mooi uit, dus je kunt deze regel niet gebruiken!

We kunnen het tensorproduct meerdere keren gebruiken om steeds grotere quantumbewerkingen op te bouwen. Hier zijn drie voorbeelden voor een verschillend aantal qubits:

1. 1.
   ​

   $I\otimes I\otimes U\otimes I$ is dezelfde vier-qubit-bewerking als $U_{3}$,

2. 2.
   ​

   $I\otimes\mathrm{CNOT}_{1\to 2}\otimes I\otimes I$ is de controlled-NOT-bewerking $\mathrm{CNOT}_{2\to 3}$ voor vijf qubits,

3. 3.
   ​

   $Z\otimes I\otimes X$ is de quantumbewerking die $Z$ toepast op de eerste qubit en parallel $X$ op de derde qubit (we kunnen dit ook schrijven als $Z_{1}X_{3}$ of $X_{3}Z_{1}$).