4.1.1 Veel quantumbits

De regels die we tot nu toe geleerd hebben voor één en twee qubits kunnen op een natuurlijke wijze veralgemeend worden naar quantumsystemen met veel qubits. Een arbitraire toestand van drie qubits kan bijvoorbeeld als volgt worden geschreven:

|ψ⟩\displaystyle\left|\psi\right\rangle =ψ000⁢|000⟩+ψ001⁢|001⟩+ψ010⁢|010⟩+ψ011⁢|011⟩\displaystyle=\psi_{000}\left|000\right\rangle+\psi_{001}\left|001\right% \rangle+\psi_{010}\left|010\right\rangle+\psi_{011}\left|011\right\rangle (4.1)
+ψ100⁢|100⟩+ψ101⁢|101⟩+ψ110⁢|110⟩+ψ111⁢|111⟩,\displaystyle+\,\psi_{100}\left|100\right\rangle+\psi_{101}\left|101\right% \rangle+\psi_{110}\left|110\right\rangle+\psi_{111}\left|111\right\rangle,

waar ψi⁢j⁢k∈[−1,1]\psi_{ijk}\in[-1,1] en de kwadraten van deze amplitudes samen weer op één uitkomen, dus,

ψ0002+ψ0012+ψ0102+ψ0112+ψ1002+ψ1012+ψ1102+ψ1112=1.\displaystyle\psi_{000}^{2}+\psi_{001}^{2}+\psi_{010}^{2}+\psi_{011}^{2}+\psi_% {100}^{2}+\psi_{101}^{2}+\psi_{110}^{2}+\psi_{111}^{2}=1.

Merk op dat er in totaal 8=238=2^{3} amplitudes zijn, één voor elke bitstring van drie bits. We kunnen |ψ⟩\left|\psi\right\rangle ook zien als een vector met acht getallen:

|ψ⟩=(ψ000ψ001ψ010ψ011ψ100ψ101ψ110ψ111).\displaystyle\left|\psi\right\rangle=\begin{pmatrix}\psi_{000}\\ \psi_{001}\\ \psi_{010}\\ \psi_{011}\\ \psi_{100}\\ \psi_{101}\\ \psi_{110}\\ \psi_{111}\end{pmatrix}.

In het algemeen kan een toestand van nn qubits beschreven worden met 2n2^{n} amplitudes ψa1,…,an\psi_{a_{1},\dots,a_{n}}, één voor elke bitstring van nn bits:

|ψ⟩=ψ00⁢…⁢00⁢|00⁢…⁢00⟩+ψ00⁢…⁢01⁢|00⁢…⁢01⟩+…+ψ11⁢…⁢11⁢|11⁢…⁢11⟩\displaystyle\left|\psi\right\rangle=\psi_{00\dots 00}\left|00\dots 00\right% \rangle+\psi_{00\dots 01}\left|00\dots 01\right\rangle+\ldots+\psi_{11\dots 11% }\left|11\dots 11\right\rangle (4.2)

Ook hier moet elke amplitude ψa1,…,an\psi_{a_{1},\dots,a_{n}} in [−1,1][-1,1] liggen en de som van hun kwadraten op één uitkomen:

ψ00⁢…⁢002+ψ00⁢…⁢012+…+ψ11⁢…⁢112=1\displaystyle\psi_{00\dots 00}^{2}+\psi_{00\dots 01}^{2}+\ldots+\psi_{11\dots 1% 1}^{2}=1 (4.3)

Als sommige amplitudes ψa1,…,an\psi_{a_{1},\dots,a_{n}} nul zijn, kunnen we ze gewoon weglaten. De vijf-qubit-toestand

12⁢(|00000⟩+|11111⟩)\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|00000\right\rangle+\left|11111% \right\rangle\right)

heeft bijvoorbeeld 32 amplitudes, waarvan er 30 nul zijn.

Omdat er 2n2^{n} amplitudes zijn, kunnen we |ψ⟩\left|\psi\right\rangle ook zien als een vector in een 2n2^{n}-dimensionale ruimte. Wat wordt meetkundig bedoeld met Vgl. 4.3? Voor een enkele qubit zagen we in Paragraaf 2.1.2 dat de toestanden overeenkomen met punten op de eenheidscirkel, oftewel twee-dimensionale vectoren met een lengte van één. Volgens de stelling van Pythagoras geldt in elke dimensie dat de som van de kwadraten van alle waarden in een vector gelijk is aan het kwadraat van zijn lengte. Dus, Vgl. 4.3 betekent meetkundig gezien dat |ψ⟩\left|\psi\right\rangle overeenkomt met een vector met lengte één ofwel een eenheidsvector in een 2n2^{n}-dimensionale ruimte.

Merk op dat het aantal amplitudes heel snel groeit met het aantal qubits. Dit verklaart waarom het al snel onmogelijk wordt om quantumtoestanden direct op te slaan in een klassieke computer. Om bijvoorbeeld een quantumtoestand van n=300n=300 qubits op te slaan, zou je meer amplitudes nodig hebben dan er atomen zijn in het waarneembare universum! Daarom kun je in Quirky ook niet meer dan 10 qubits hebben, we willen niet dat je webbrowser zonder geheugen komt te zitten!

Net als in Vgl. 3.50, kunnen we het tensorproduct ’⊗\otimes’ gebruiken om quantumtoestanden van een willekeurig aantal qubits te combineren. Als we twee basistoestanden hebben, definiëren we hun tensorproduct door simpelweg de bitstrings aan elkaar vast te plakken. We veralgemenen het twee-qubit geval van Vgl. 3.49,

|a1,…,an⟩⊗|b1,…,bm⟩=|a1,…,an,b1,…,bm⟩.\displaystyle\left|a_{1},\dots,a_{n}\right\rangle\otimes\left|b_{1},\dots,b_{m% }\right\rangle=\left|a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{m}\right\rangle. (4.4)

Bijvoorbeeld,

|101⟩⊗|01⟩=|10101⟩.\displaystyle\left|101\right\rangle\otimes\left|01\right\rangle=\left|10101% \right\rangle.

In het algemeen, als |α⟩\left|\alpha\right\rangle een arbitraire quantumtoestand van nn qubits is en |β⟩\left|\beta\right\rangle een arbitraire quantumtoestand van mm qubits, dan is hun tensorproduct of gecombineerde toestand een toestand van n+mn+m qubits. Om deze toestand te berekenen hoeven we alleen maar ’uit te vermenigvuldigen’ met behulp van de distributiviteitswet en vervolgens Vgl. 4.4 toe te passen voor elke term. Als voorbeeld, het tensorproduct van twee maximaal verstrengelde toestanden ziet er als volgt uit:

|Φ+⟩⊗|Φ+⟩\displaystyle\quad\left|\Phi^{+}\right\rangle\otimes\left|\Phi^{+}\right\rangle
=(12⁢|00⟩+12⁢|11⟩)⊗(12⁢|00⟩+12⁢|11⟩)\displaystyle=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}% \left|11\right\rangle\right)\otimes\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right% \rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|11\right\rangle\right)
=12⁢12⁢|00⟩⊗|00⟩+12⁢12⁢|00⟩⊗|11⟩+12⁢12⁢|11⟩⊗|00⟩+12⁢12⁢|11⟩⊗|11⟩\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right\rangle\otimes% \left|00\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right% \rangle\otimes\left|11\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\left|% 11\right\rangle\otimes\left|00\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2% }}\left|11\right\rangle\otimes\left|11\right\rangle
=12⁢|0000⟩+12⁢|0011⟩+12⁢|1100⟩+12⁢|1111⟩.\displaystyle=\frac{1}{2}\left|0000\right\rangle+\frac{1}{2}\left|0011\right% \rangle+\frac{1}{2}\left|1100\right\rangle+\frac{1}{2}\left|1111\right\rangle.
Oefenopgave 4.1 (Tensorproduct van Bell-toestanden).

Bereken het tensorproduct |Φ−⟩⊗|Ψ−⟩\left|\Phi^{-}\right\rangle\otimes\left|\Psi^{-}\right\rangle van de twee Bell-toestanden uit Vgl. 3.70 en 3.72.

Solution.
|Φ−⟩⊗|Ψ−⟩\displaystyle\quad\left|\Phi^{-}\right\rangle\otimes\left|\Psi^{-}\right\rangle
=(12⁢|00⟩−12⁢|11⟩)⊗(12⁢|01⟩−12⁢|10⟩)\displaystyle=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}% \left|11\right\rangle\right)\otimes\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left|01\right% \rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}\left|10\right\rangle\right)
=12⁢|0001⟩−12⁢|0010⟩−12⁢|1101⟩+12⁢|1110⟩.\displaystyle=\frac{1}{2}\left|0001\right\rangle-\frac{1}{2}\left|0010\right% \rangle-\frac{1}{2}\left|1101\right\rangle+\frac{1}{2}\left|1110\right\rangle.