4.1.3 De meest algemene quantumbewerkingen

Wat zijn de meest algemene bewerkingen die we kunnen toepassen op quantumtoestanden van nn qubits? Eigenlijk is elke bewerking die de volgende drie eigenschappen heeft:

  1. 1.
    ​

    het is lineair,

  2. 2.
    ​

    het beeldt quantumtoestanden af op quantumtoestanden.

  3. 3.
    ​

    het is inverteerbaar

een geldige quantumbewerking!

Oefenopgave 4.4 (Toffoli).

Definieer de Toffoli-bewerking op drie qubits door

T⁢|a,b,c⟩=|a,b,c⊕a⁢b⟩T\left|a,b,c\right\rangle=\left|a,b,c\oplus ab\right\rangle

op de basistoestanden (a⁢bab is het product van de twee bits a,b∈{0,1}a,b\in\{0,1\}, en ⊕\oplus is gedefinieerd in Vgl. 3.21), en breid het lineair uit naar arbitraire drie-qubits-toestanden. Laat zien dat TT quantumtoestanden afbeeldt op quantumtoestanden en dat TT inverteerbaar is.

Opmerking: TT inverteert het derde bit van de basisvector als en alleen als de eerste twee bits beide op één staan – dus het is een soort ‘dubbel-controlled-NOT’-bewerking.

Solution. We laten
|ψ⟩\displaystyle\left|\psi\right\rangle =ψ000⁢|000⟩+ψ001⁢|001⟩+ψ010⁢|010⟩+ψ011⁢|011⟩\displaystyle=\psi_{000}\left|000\right\rangle+\psi_{001}\left|001\right% \rangle+\psi_{010}\left|010\right\rangle+\psi_{011}\left|011\right\rangle
+ψ100⁢|100⟩+ψ101⁢|101⟩+ψ110⁢|110⟩+ψ111⁢|111⟩\displaystyle+\,\psi_{100}\left|100\right\rangle+\psi_{101}\left|101\right% \rangle+\psi_{110}\left|110\right\rangle+\psi_{111}\left|111\right\rangle
een arbitraire drie-qubit-quantumtoestand zijn. Het resultaat van hierop de Toffoli-bewerking toepassen is
|ψ′⟩=T⁢|ψ⟩\displaystyle\left|\psi^{\prime}\right\rangle=T\left|\psi\right\rangle =ψ000⁢|000⟩+ψ001⁢|001⟩+ψ010⁢|010⟩+ψ011⁢|011⟩\displaystyle=\psi_{000}\left|000\right\rangle+\psi_{001}\left|001\right% \rangle+\psi_{010}\left|010\right\rangle+\psi_{011}\left|011\right\rangle
+ψ100⁢|100⟩+ψ101⁢|101⟩+ψ110⁢|𝟏𝟏𝟏⟩+ψ111⁢|𝟏𝟏𝟎⟩.\displaystyle+\,\psi_{100}\left|100\right\rangle+\psi_{101}\left|101\right% \rangle+\psi_{110}\mathbf{\left|111\right\rangle}+\psi_{111}\mathbf{\left|110% \right\rangle}.
We hebben de twee basistoestanden die zijn veranderd dikgedrukt gemaakt. Het enige dat veranderd is, is dat de amplitudes van |110⟩\left|110\right\rangle en |111⟩\left|111\right\rangle verwisseld zijn. Het is dus duidelijk dat als ∑a,b,c=01ψa,b,c2=1\sum_{a,b,c=0}^{1}\psi_{a,b,c}^{2}=1, dan is ook ∑a,b,c=01(ψa,b,c′)2=1\sum_{a,b,c=0}^{1}(\psi^{\prime}_{a,b,c})^{2}=1. Dus, TT beeldt quantumtoestanden af op quantumtoestanden.

4.4 laat zien dat de Toffoli-bewerking een geldige quantumbewerking op drie qubits is. Opmerkelijk is dat het eigenlijk mogelijk is om TT te schrijven als een reeks van één- en twee-qubitbewerkingen. Dit is zelfs mogelijk voor elke quantumbewerking op nn qubits – maar dit zullen we niet behandelen in deze cursus omdat je een ervaren quantumcomponist moet zijn om te begrijpen hoe dit kan!