2.6.2 Polarisatie

Nu dat we de wiskunde van qubit-toestanden en -bewerkingen kennen, zou het fijn zijn om ze met iets fysisch te kunnen verbinden.

Een van de simpelste manieren om een qubit fysisch voor te stellen is door de polarisatie van licht. Licht is een elektromagnetische golf die in een rechte lijn door de ruimte beweegt. Deze golf trilt in een richting loodrecht op de richting waarin het beweegt. Merk op dat er verschillende van zulke richtingen mogelijk zijn – een golf die voorwaarts beweegt kan van links naar rechts of van boven naar beneden trillen. Deze horizontale en verticale trillingsrichtingen kunnen worden gebruikt om de twee basistoestanden van een qubit weer te geven:

|↔⟩=(10),|↕⟩=(01).|{\leftrightarrow}\rangle=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix},\qquad|{\updownarrow}\rangle=\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}.

In het algemeen kunnen we een golf die trilt onder een hoek θ\theta met de horizontale as gebruiken om de toestand

|ψ⁢(θ)⟩=cos⁡θ⁢|↔⟩+sin⁡θ⁢|↕⟩=(cos⁡θsin⁡θ)\left|\psi(\theta)\right\rangle=\cos\theta\,|{\leftrightarrow}\rangle+\sin% \theta\,|{\updownarrow}\rangle=\begin{pmatrix}\cos\theta\\ \sin\theta\end{pmatrix}

voor te stellen.

Diagonaal gepolariseerd licht dat trilt onder een hoek van 45∘45^{\circ} tussen de verticale en horizontale richtingen vertegenwoordigt bijvoorbeeld de toestand |ψ⁢(π/4)⟩=|+⟩\left|\psi(\pi/4)\right\rangle=\left|+\right\rangle. Merk op dat in deze weergave de trillingsrichting van de elektromagnetische golf overeenkomt met de richting van de vector die we gebruikten in Fig. 2.1 van Paragraaf 2.1.2 om een qubit-toestand op een cirkel voor te stellen.

Om deze toestanden voor te bereiden, kunnen we gewoon een lichtstraal door een polarisator sturen, zoals die in je zonnebril of in een 3D-bril van de bioscoop. Een polarisator laat alleen een deel van de golf door – dat waarvan de trillingsrichting overeenkomt met de richting van de polarisator. Om de toestand |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle te maken, kunnen we gewoon de polarisator schuin houden onder een hoek θ\theta ten opzichte van de horizontale as. In het voorbeeld van de polarisatoren is te zien hoe de toestanden |0⟩\left|0\right\rangle, |1⟩\left|1\right\rangle en |+⟩\left|+\right\rangle kunnen worden bereid.

Figuur 2.8: Horizontaal, verticaal en diagonaal gepolariseerd licht kan worden gebruikt om de qubit-toestanden |0⟩\left|0\right\rangle, |1⟩\left|1\right\rangle en |+⟩\left|+\right\rangle voor te stellen.

Een interessante eigenschap van het weergeven van qubit-toestanden door gepolariseerd licht is dat de toestanden |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle en |ψ⁢(θ+π)⟩\left|\psi(\theta+\pi)\right\rangle op dezelfde manier worden bereid – het schuin houden van de polarisator onder een hoek θ\theta. Dit betekent dat deze twee toestanden identiek moeten zijn! Polarisatie geeft dus een intuïtieve verklaring voor waarom de toestanden |ψ⟩\left|\psi\right\rangle en −|ψ⟩-\left|\psi\right\rangle niet onderscheidbaar zijn (zie 2.7).

Figuur 2.9: De mate van horizontale polarisatie in licht kan worden bepaald door het door een horizontale polarisator te laten gaan en dan de helderheid te meten. Voor horizontaal, verticaal en diagonaal gepolariseerd licht geeft dit een helderheid van 100%100\%, 0%0\% en 50%50\%, die overeenkomen met de waarschijnlijkheid van het waarnemen van uitkomst 0 bij het meten van de toestanden |0⟩\left|0\right\rangle, |1⟩\left|1\right\rangle, en |+⟩\left|+\right\rangle.

Een andere handige eigenschap van qubits als gepolariseerd licht zien is dat we een meting makkelijk kunnen voorstellen. Stel dat we de toestand |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle willen meten om de waarschijnlijkheid van de uitkomst 0 te bepalen. Als de toestand ons wordt gegeven als een lichtstraal, gepolariseerd onder een hoek θ\theta, kunnen we deze simpelweg door een horizontale polarisator laten gaan en zien hoeveel licht er doorkomt – als de helderheid is afgenomen tot 70%70\%, is de kans op uitkomst 0 70%70\%. In het bijzonder, als de inkomende bundel horizontaal gepolariseerd was, gaat alles erdoorheen, en als de bundel verticaal gepolariseerd was, gaat er niets doorheen. Als een diagonaal gepolariseerde lichtstraal door een horizontale polarisator wordt gestuurd, neemt de helderheid met 50%50\% af (zie Fig. 2.9).

Oefenopgave 2.9 (Polarisatie experiment).

Als je thuis toevallig een gepolariseerde zonnebril hebt liggen, kan je die opzetten en naar het scherm van je telefoon of computer kijken. Meestal zenden schermen gepolariseerd licht uit (de polarisatierichting zal afhangen van het apparaat). Als je je hoofd schuin houdt, zou je moeten zien dat het scherm lichter of donkerder wordt. Kan je uitleggen waarom dit het geval is?

Solution. Door je hoofd schuin te houden verander je de hoek tussen de polarisator in je zonnebril en de richting waarin de elektromagnetische lichtgolven van je scherm trillen. Omdat de hoeveelheid licht die door een polarisator heen kan gaan afhangt van deze hoek, zal het scherm helderder of donkerder lijken. Op dezelfde manier zal het veranderen van de hoek θ\theta de waarschijnlijkheid veranderen dat een meting van de toestand |ψ⁢(θ)⟩\left|\psi(\theta)\right\rangle de uitkomst 0 oplevert.

Polarisatie van licht is slechts één voorbeeld van hoe een qubit in een laboratorium zou kunnen worden gerealiseerd. Een ander voorbeeld is de locatie van het lichtdragende deeltje dat een foton wordt genoemd – aangezien een foton zich gedraagt volgens de wetten van de quantummechanica, kan het zich tegelijkertijd op twee plaatsen in een superpositie bevinden. Als we deze plaatsen 0 en 11 noemen, komt de toestand van het foton overeen met een qubit. Er zijn vele andere mogelijkheden: de stroom in een supergeleidend circuit kan tegelijkertijd in beide richtingen stromen, een elektron kan tegelijkertijd in twee banen rond een atoom zitten, enzovoort. Kortom, elk quantummechanisch systeem dat zich in twee verschillende toestanden kan bevinden, kan zich ook in de superpositie daarvan bevinden, en kan dus potentieel worden gebruikt als een fysieke weergave van een qubit.