4.2.1 Unklonbarkeit

Mit einem klassischen Bit ist kopieren oder klonen sehr einfach – wir müssen es einfach nur anschauen und kopieren, was wir sehen:

[0]\displaystyle[0] ↦[00],\displaystyle\mapsto[00],
[1]\displaystyle[1] ↦[11].\displaystyle\mapsto[11].

Können wir Qubits auch klonen?

Nehmen wir einmal an, dass es möglich ist Qubits zu klonen. Das würde bedeuten, es existiert eine Quantenoperation CC, die gegeben eines beliebigen Ein-Qubit-Zustand |ψ⟩\left|\psi\right\rangle und eines neuen Qubits im Zustand |0⟩\left|0\right\rangle sich so verhält

C⁢(|ψ⟩⊗|0⟩)=|ψ⟩⊗|ψ⟩C(\left|\psi\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle)=\left|\psi\right\rangle% \otimes\left|\psi\right\rangle (4.16)

dass sie zwei Kopien von |ψ⟩\left|\psi\right\rangle aus einer einzelnen Kopie erstellt. (Warum geben wir das neue Qubit? Ganz einfach, damit CC genauso viele Eingabe wie Ausgabe Qubits hat).

Der Kloner würde sich beispielsweise so auf den Basiszuständen verhalten:

C⁢|00⟩\displaystyle C\left|00\right\rangle =|00⟩,\displaystyle=\left|00\right\rangle, (4.17)
C⁢|10⟩\displaystyle C\left|10\right\rangle =|11⟩.\displaystyle=\left|11\right\rangle.

Genau wie es einfach ist, klassische Bits zu klonen, können wir auch einfach eine Quantenoperation finden, die die Basiszustände klont. Die kontrollierte-NOT-Operation CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2} aus Gl. 3.63 macht zum Beispiel genau das.

Aber gibt es auch eine Quantenoperation die beliebige unbekannte Quantenzustände klonen kann, nicht nur die Basiszustände? In der folgenden Hausaufgabe wirst du zeigen, dass das nicht möglich ist.

Hausaufgabe 4.1 (Unklonbarkeit).

In dieser Hausaufgabe wollen wir beweisen, dass es keine Quantenoperation CC geben kann, die Gl. 4.16 erfüllt. Wir nutzen dafür einen Trick, der sich Widerspruchsbeweis nennt. Das bedeutet, wir werden zeigen, dass die Existenz einer Klon-Operation CC etwas impliziert, von dem wir wissen, dass es nicht stimmt (z.B. “0=10=1”). Daraus können wir dann schließen, dass kein solches CC existieren kann.
Lass uns also zu Beginn annehmen, dass es eine Quantenoperation CC gibt, die Gl. 4.16 erfüllt. Nun kannst du C⁢(|+⟩⊗|0⟩)C(\left|+\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle) auf zwei verschiedene Arten berechnen:

  1. 1.
    ​

    Nutze zuerst Gl. 4.16 und schreibe das Ergebnis dann in der Form von Gl. 3.31.

  2. 2.
    ​

    Schreibe erst |+⟩⊗|0⟩\left|+\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle in der Form von Gl. 3.31, nutze dann die Linearität von CC und wende abschließend Gl. 4.16 an.

Erhältst du in beiden Fällen das gleiche Ergebnis? Wenn nicht, was kannst du daraus schließen?

Hack.

Assuming such an operation is possible, let us see how it would act on |ψ⟩=|+⟩\left|\psi\right\rangle=\left|+\right\rangle. On one hand, since CC is supposed to clone any single-qubit states, including |+⟩\left|+\right\rangle, we should get

C⁢(|+⟩⊗|0⟩)\displaystyle C(\left|+\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle) =|+⟩⊗|+⟩=12⁢(|0⟩+|1⟩)⊗12⁢(|0⟩+|1⟩)\displaystyle=\left|+\right\rangle\otimes\left|+\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2% }}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)\otimes\frac{1}{\sqrt{% 2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)
=12⁢(|0⟩⊗|0⟩+|0⟩⊗|1⟩+|1⟩⊗|0⟩+|1⟩⊗|1⟩)\displaystyle=\frac{1}{2}\left(\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle% +\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle+\left|1\right\rangle\otimes% \left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\right)
=12⁢(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩).\displaystyle=\frac{1}{2}\left\lparen\left|00\right\rangle+\left|01\right% \rangle+\left|10\right\rangle+\left|11\right\rangle\right\rparen.

On the other hand, since all quantum operations must be linear,

C⁢(|+⟩⊗|0⟩)=C⁢(12⁢|00⟩+12⁢|10⟩)=12⁢C⁢|00⟩+12⁢C⁢|10⟩=12⁢(|00⟩+|11⟩),\displaystyle C(\left|+\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle)=C\left\lparen% \frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|10\right% \rangle\right\rparen=\frac{1}{\sqrt{2}}C\left|00\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2% }}C\left|10\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lparen\left|00\right\rangle+% \left|11\right\rangle\right\rparen,

where the last equality follows from Gl. 4.17. Since these two equations give different results, we get a contradiction. Hence we conclude that there is no quantum operation that can clone an unknown quantum state.

Dieses berühmte Ergebnis ist bekannt als das No-Cloning-Theorem (engl. für “Unklonbarkeits-Theorem”). Die gleiche Schlussfolgerung (und wahrscheinlich auch das Argument, dass du in 4.1 angewendet hast) gilt auch für probabilistische Bits! Hier hast du eine intuitive Erklärung, warum wir weder Probabilistische- noch Quanten-Information klonen können. Wenn das möglich wäre, könnten wir mit einem unbekannten probabilistischen Bit pp oder einem Qubit in unbekannten Zustand |ψ⟩\left|\psi\right\rangle so viele Kopien von pp und |ψ⟩\left|\psi\right\rangle erstellen wie wir wollen. Diese Kopien könnten wir dann so lange auf verschiedenste Art und Weise messen, bis wir eine beliebig genaue Annäherung an die Wahrscheinlichkeiten oder Amplituden haben (genau wie wir es in Abschnitt 2.5.1 gemacht haben, um das Mysterium der gelben Box zu lösen). Also könnten wir aus einem einzelnen Probabilistischen- oder Quanten-Bit eine beliebige Menge an Information lernen. Das sollte offensichtlich nicht möglich sein!

Tatsächlich würden wir in einer sehr seltsamen Welt leben, wenn das möglich wäre (sogar noch seltsamer als die Welt der Quantenmechanik)! Wir könnten dann zum Beispiel eine Münze erstellen, deren Wahrscheinlichkeit für Kopf p=0.1011010010⁢…p=0.1011010010\ldots ist, wobei der Bitstring den gesamten Inhalt von Wikipedia und alle YouTube Videos und Katzenbilder im Internet kodiert. Wenn das Klonen von probabilistischen Bits möglich wäre, könnten wir diese Münze einmal werfen und das Ergebnis aufschreiben. Das entspricht einem probabilistischen Bit an Information, welches mit Wahrscheinlichkeit pp gleich 0 ist. Wenn du diese Münze jetzt zugesendet bekommst und sie klonen kannst, könntest du dir beliebig viele Kopien erstellen und sie alle messen. Indem du dir die Messergebnisse anschaust und zählst, wie viele nullen du erhalten hast, kannst du die Wahrscheinlichkeit pp abschätzen. Tatsächlich kannst du mit genügend Kopien die Wahrscheinlichkeit beliebig akkurat abschätzen! Insbesondere könntest du dir jedes einzelne Bit des Bitstrings der Wahrscheinlichkeit pp anschauen, also auch all die kodierte Information, zum Beispiel das 6553565535te Katzenbild!

Offensichtlich sollte das in unserer Welt nicht funktionieren, da wir sonst keine USB-Sticks oder Datencenter bräuchten und nicht für unsere Mobilfunkverbindung zahlen müssten – wir könnten alle Information in einem einzelnen probabilistischen Bit speichern und sie übertragen indem wir dieses eine Bit versenden. Das ist auf jeden Fall zu schön um wahr zu sein\IfClassLoadedWithOptionsTFclassoptionstrue codefalse code