1.4.3 Eine mysteriöse Operation

Bisher haben wir immer noch nicht über die mysteriöse orangene Box gesprochen. Lass uns diese Operation doch $M$ nennen. Wie können wir herausfinden, was die Operation $M$ macht? Als erstes können wir versuchen herausfinden, was das Ergebnis von $M\,[0]$ ist, also was passiert, wenn man $M$ auf ein Bit im Zustand $[0]$ anwendet. In Quirky entspricht das folgender Berechnung:

Wie können wir jetzt $M\,[0]$ ablesen? Wir müssen uns an dieser Stelle kurz daran erinnern, dass man bei zufälligen Bits in der Natur nicht einfach die Wahrscheinlichkeiten ablesen kann. Stattdessen muss man, wie in Abschnitt 1.3 beschrieben, viele Messungen durchführen (z.B. viele Münzwürfe durchführen) und die Wahrscheinlichkeiten vom Ergebnis abschätzen. Der Vorteil von einem Simulator wie Quirky ist, dass diese Regeln für uns nicht gelten – wir können mit der Wahrscheinlichkeitsanzeige den Zustand einfach anzeigen lassen:

Also wissen wir jetzt

\displaystyle M\,[0]=0.2\,[0]+0.8\,[1].

Jetzt bist du an der Reihe!

Hausaufgabe 1.6 (Zeit für ein Mysterium).

1.

Bestimme den Zustand $M\,[1]$
2.

Bestimmen $M\,[0]$ und $M\,[1]$ die zufällige Operation $M$ vollständig?
Falls ja, schreibe eine Formel für $M\,\bigl{(}\begin{smallmatrix}1/2\\ 1/2\end{smallmatrix}\bigr{)}$ auf und überprüfe sie mit Quirky. Falls nicht, erkläre wieso.

Hack.

1.

Mit Quirky,

finden wir heraus, dass

$\displaystyle M[1]=0.7[0]+0.3[1].$

Ja, da jede zufällige Operation Linearität erfüllt (Gl. 1.25). Daher ergibt sich:

	$\displaystyle M\bigl{(}\begin{smallmatrix}1/2\\ 1/2\end{smallmatrix}\bigr{)}$	$\displaystyle=\frac{1}{2}M[0]+\frac{1}{2}M[1]$
		$\displaystyle=\frac{1}{2}\frac{2}{10}[0]+\frac{1}{2}\frac{8}{10}[1]+\frac{1}{2% }\frac{7}{10}[0]+\frac{1}{2}\frac{3}{10}[1]$
		$\displaystyle=\frac{9}{20}[0]+\frac{11}{20}[1]$
		$\displaystyle=45\%[0]+55\%[1].$

Wir können das auch mit Quirky überprüfen:

In den kommenden Wochen werden wir den Sprung von gewöhnlichen Bits zu Quantenbits wagen und lernen, wie man mit diesen auf immer raffinierte Weise rechnet. Quirky wird uns dabei als zuverlässiges Werkzeug dienen und im Laufe der Zeit mit immer mehr neuen Funktionen ausgestattet werden. Benutze es gerne, um die Theorie, die du lernen wirst zu verstehen und um dir bei den Hausaufgaben zu helfen.