4.2.1 Geen klonen

Als we een klassiek bit bekijken, is het eenvoudig om het te kopiëren of klonen – je hoeft alleen maar naar de bit te kijken en te kopiëren wat je ziet:

[0]\displaystyle[0] ↦[00],\displaystyle\mapsto[00],
[1]\displaystyle[1] ↦[11].\displaystyle\mapsto[11].

Kunnen we quantumbits ook klonen?

Laten we er voor nu even van uitgaan dat dit mogelijk is. Dit zou betekenen dat er een quantumbewerking CC bestaat die, gegeven een qubit in de toestand |ψ⟩\left|\psi\right\rangle en een nieuwe qubit in de toestand |0⟩\left|0\right\rangle, als volgt werkt

C⁢(|ψ⟩⊗|0⟩)=|ψ⟩⊗|ψ⟩C(\left|\psi\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle)=\left|\psi\right\rangle% \otimes\left|\psi\right\rangle (4.16)

om twee kopieën van |ψ⟩\left|\psi\right\rangle te maken uit een enkele toestand. (Waarom geven we de nieuwe qubit mee? Dit is zodat CC evenveel invoer-qubits als uitvoer-qubits heeft).

De kloner werkt bijvoorbeeld als volgt op de basistoestanden:

C⁢|00⟩\displaystyle C\left|00\right\rangle =|00⟩,\displaystyle=\left|00\right\rangle, (4.17)
C⁢|10⟩\displaystyle C\left|10\right\rangle =|11⟩.\displaystyle=\left|11\right\rangle.

Net als we gemakkelijk een klassiek bit kunnen klonen, is het gemakkelijk om een quantumbewerking te vinden die de basistoestanden kloont. De controlled-NOT-bewerking CNOT1→2\mathrm{CNOT}_{1\to 2} van Vgl. 3.63 doet dit bijvoorbeeld.

Maar is er een quantumbewerking die een arbitraire onbekende qubit-toestand kan klonen, dus niet alleen een basistoestand? In de volgende huiswerkopdracht zul je laten zien dat dit niet mogelijk is.

Huiswerkopdracht 4.1 (Geen klonen).

In deze huiswerkopdracht willen we bewijzen dat er geen quantumbewerking CC bestaat die voldoet aan Vgl. 4.16. We zullen een techniek gebruiken die we bewijs door tegenspraak noemen. Dit betekent dat we laten zien dat als zo’n kloonbewerking CC zou bestaan, dit zou leiden tot iets waarvan we weten dat het niet klopt (bijvoorbeeld “0=10=1”). Hieruit kunnen we dan concluderen dat zo’n  CC niet kan bestaan.
We beginnen dus met aan te nemen dat er een quantumbewerking CC bestaat die voldoet aan Vgl. 4.16. Je kunt C⁢(|+⟩⊗|0⟩)C(\left|+\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle) op twee verschillende manieren berekenen:

  1. 1.
    ​

    Gebruik eerst Vgl. 4.16 en schrijf je resultaat in de vorm van Vgl. 3.31.

  2. 2.
    ​

    Schrijf eerst |+⟩⊗|0⟩\left|+\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle uit in de vorm van Vgl. 3.31, gebruik dan dat CC lineair is en pas tenslotte Vgl. 4.16 toe.

Krijg je in beide gevallen hetzelfde antwoord? Zo niet, wat kun je dan concluderen?

Hack.

Assuming such an operation is possible, let us see how it would act on |ψ⟩=|+⟩\left|\psi\right\rangle=\left|+\right\rangle. On one hand, since CC is supposed to clone any single-qubit states, including |+⟩\left|+\right\rangle, we should get

C⁢(|+⟩⊗|0⟩)\displaystyle C(\left|+\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle) =|+⟩⊗|+⟩=12⁢(|0⟩+|1⟩)⊗12⁢(|0⟩+|1⟩)\displaystyle=\left|+\right\rangle\otimes\left|+\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2% }}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)\otimes\frac{1}{\sqrt{% 2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)
=12⁢(|0⟩⊗|0⟩+|0⟩⊗|1⟩+|1⟩⊗|0⟩+|1⟩⊗|1⟩)\displaystyle=\frac{1}{2}\left(\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle% +\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle+\left|1\right\rangle\otimes% \left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\right)
=12⁢(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩).\displaystyle=\frac{1}{2}\left\lparen\left|00\right\rangle+\left|01\right% \rangle+\left|10\right\rangle+\left|11\right\rangle\right\rparen.

On the other hand, since all quantum operations must be linear,

C⁢(|+⟩⊗|0⟩)=C⁢(12⁢|00⟩+12⁢|10⟩)=12⁢C⁢|00⟩+12⁢C⁢|10⟩=12⁢(|00⟩+|11⟩),\displaystyle C(\left|+\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle)=C\left\lparen% \frac{1}{\sqrt{2}}\left|00\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|10\right% \rangle\right\rparen=\frac{1}{\sqrt{2}}C\left|00\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2% }}C\left|10\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lparen\left|00\right\rangle+% \left|11\right\rangle\right\rparen,

where the last equality follows from Vgl. 4.17. Since these two equations give different results, we get a contradiction. Hence we conclude that there is no quantum operation that can clone an unknown quantum state.

Dit beroemde resultaat heet in het Engels de no cloning theorem. Dezelfde conclusie (en waarschijnlijk ook het argument dat je in 4.1 hebt gegeven) geldt ook voor probabilistische bits! Er is een intuïtieve verklaring waarom we probabilistische en quantuminformatie niet kunnen kopiëren. Als dit mogelijk zou zijn, dan zouden we, gegeven een probabilistische bit in een onbekende toestand pp of een qubit in een onbekende toestand |ψ⟩\left|\psi\right\rangle, zoveel kopieën van pp en |ψ⟩\left|\psi\right\rangle kunnen maken als we willen. Met deze kopieën kunnen we ze vervolgens op allerlei manieren meten en de verkregen gegevens gebruiken om de waarschijnlijkheid van pp of de amplitudes van |ψ⟩\left|\psi\right\rangle met willekeurige precisie te schatten (net zoals we in Paragraaf 2.5.1 hebben gedaan om de innerlijke werking van het gele mysterievakje te achterhalen). We zouden dus uit een enkele probabilistische of quantumbit een willekeurige hoeveelheid informatie kunnen halen. Dit zou duidelijk niet mogelijk moeten zijn!

Sterker nog, als dit mogelijk zou zijn, dan zouden we in een heel vreemde wereld leven (veel vreemder dan die beschreven door de quantummechanica)! Stel je bijvoorbeeld een munt voor met een kans op kop van p=0,1011010010⁢…p=0,1011010010\ldots, waarbij de binaire cijfers de hele inhoud van Wikipedia coderen, en ook alle YouTube-video’s en alle foto’s van katten die je op het internet kan vinden. Als het klonen van probabilistische bits mogelijk zou zijn, zou ik deze munt één keer kunnen opgooien en opschrijven welke uitkomst ik krijg. Dit is een probabilistisch stukje informatie dat gelijk is aan 0 met kans pp. Als ik dit probabilistische bit naar jou stuur en je kan het klonen, dan kun je er zoveel kopieën van maken als je wilt en ze dan allemaal meten. Door naar de meetresultaten te kijken en te tellen hoeveel nullen je kreeg, zou je de kans pp kunnen schatten. In feite zou je, door voldoende kopieën van het originele bit te maken, deze kans arbitrair goed kunnen schatten! Je zou met name elk binair cijfer van pp en dus ook alle informatie die in pp gecodeerd is eruit kunnen halen, inclusief het kattenplaatje nummer 65535!

Dit zou duidelijk niet mogelijk moeten zijn, want anders zouden we geen USB-drives, datacentra of dataconnectie voor onze mobiele telefoon nodig hebben – we zouden gewoon al onze informatie in een enkel probabilistisch bit kunnen opslaan en alle informatie kunnen verzenden door dit bit naar iemand anders te sturen! Dit is absoluut te mooi om waar te zijn.