4.2.5 De onzekerheidsrelatie

Voor het laatste verschijnsel dat we willen bespreken, hebben we maar één quantumbit nodig. In Vgl. 2.6 hebben we de regels voor het meten van een enkel quantumbit gezien, zoals in de volgende afbeelding:

Gegeven een quantumtoestand $\left|\psi\right\rangle=\psi_{0}\left|0\right\rangle+\psi_{1}\left|1\right\rangle$ , kunnen we twee mogelijke uitkomsten krijgen met waarschijnlijkheden

p_{0}=\psi_{0}^{2},\qquad p_{1}=\psi_{1}^{2}.

(4.19)

Wat zijn de deterministische toestanden waarbij we één van de uitkomsten met zekerheid meten? Dit zijn toestanden waarbij de ene waarschijnlijkheid 100% is en de andere 0%. Met andere woorden, de toestanden waarbij de ene amplitude $\pm 1$ is en de andere nul. Op een eventueel minteken na, waarvan we uit 2.7 weten dat dit niet relevant is, zijn er maar twee van zulke toestanden:

\left|0\right\rangle=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix},\qquad\left|1\right\rangle=\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix},

(4.20)

oftewel de basistoestanden. Dit zijn de enige toestanden waarvoor we de meetuitkomst perfect kunnen voorspellen, dus we stellen dat er geen onzekerheid is in de meetuitkomst.

Wat gebeurt er als we eerst een bewerking op de qubit uitvoeren en daarna een meting? Stel bijvoorbeeld dat we eerst een Hadamard-bewerking uitvoeren en dan een meting, zoals in de volgende afbeelding:

Hier zijn de enige toestanden waarvoor we volledig zeker zijn over de meetuitkomst

\left|+\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix},\qquad\left|-\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix}

(4.21)

(op een algemene minteken na). Dit komt omdat de Hadamard-bewerking $\left|+\right\rangle$ , $\left|-\right\rangle$ weer terugbrengt naar de basistoestanden $\left|0\right\rangle$ , $\left|1\right\rangle$ (dit heb je laten zien in 4.5); en deze laatste toestanden zijn precies de toestanden met volledige zekerheid over de uiteindelijke meting, zoals we hierboven hebben besproken. We kunnen dit ook zien door de waarschijnlijkheid van de twee mogelijke meetuitkomsten te berekenen

q_{0}=\frac{(\psi_{0}+\psi_{1})^{2}}{2},\qquad q_{1}=\frac{(\psi_{0}-\psi_{1})% ^{2}}{2}.

(4.22)

Als $q_{1}=0$ dan is de toestand $\left|+\right\rangle$ , en als $q_{0}=0$ dan is de toestand $\left|-\right\rangle$ (op een algemeen minteken na).

Dit zijn allemaal berekeningen die we al vaker hebben gezien – maar er is een interessante observatie die we nog niet eerder hebben gedaan. Aangezien geen enkele toestand voorkomt in zowel Vgl. 4.20 en 4.21 voorkomt, betekent dit dat voor elke toestand minstens één van de twee procedures een onzekerheid in het meetresultaat zal hebben. Dit is niets anders dan de beroemde onzekerheidsrelatie van Heisenberg!

Kunnen we deze observatie kwantitatief maken? We hebben eerst een manier nodig om de onzekerheid of ’willekeurigheid’ van een kansverdeling $p=\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)}$ te kwantificeren. De volgende functie is hier een goede keuze voor:

\displaystyle\operatorname{onzekerheid}(p)=p_{0}(1-p_{0})=p_{0}p_{1}.

Deze functie zet een kansverdeling $p$ om in een getal in het interval $[0,1/4]$ . De uitkomst is precies $0$ in het geval dat $p_{0}=0$ of $p_{0}=1$ , en is maximaal als beide uitkomsten even waarschijnlijk zijn (d.w.z. als $p_{0}=p_{1}=1/2$ ). Hier is een plot die deze eigenschappen bevestigt:

Stel nu dat we beginnen met een toestand $\left|\psi\right\rangle$ en een van de twee hierboven beschreven procedures uitvoeren. Dat wil zeggen, we meten de toestand direct of we passen eerst een Hadamard-bewerking toe en meten dan. De bijbehorende onzekerheden zijn $\operatorname{onzekerheid}(p)$ en $\operatorname{onzekerheid}(q)$ , waarbij de verdelingen $p=\bigl{(}\begin{smallmatrix}p_{0}\\ p_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)}$ en $q=\bigl{(}\begin{smallmatrix}q_{0}\\ q_{1}\end{smallmatrix}\bigr{)}$ gegeven zijn in Vgl. 4.19 en 4.22 hierboven. Dan geldt:

\displaystyle\operatorname{onzekerheid}(p)+\operatorname{onzekerheid}(q)>0.

Deze ongelijkheid betekent inderdaad dat er geen toestand bestaat waarvoor beide onzekerheden tegelijkertijd nul zijn. In de volgende huiswerkopdracht zul je een krachtiger resultaat laten zien:

Huiswerkopdracht 4.4 (Afweging van onzekerheid).

Laat zien dat voor elke qubit-toestand $\left|\psi\right\rangle$ :

\operatorname{onzekerheid}(p)+\operatorname{onzekerheid}(q)=\frac{1}{4}.

(4.23)

Vind verder een qubit-toestand $\left|\psi\right\rangle$ met $\operatorname{onzekerheid}(p)=\operatorname{onzekerheid}(q)$ .

Bonusvraag: Maak deze toestand met behulp van Quirky en gebruik Quirky om te bevestigen dat $\operatorname{onzekerheid}(p)=\operatorname{onzekerheid}(q)$ .

Hack.

Using Vgl. 4.19 en 4.22 and the fact that $\psi_{0}^{2}+\psi_{1}^{2}=1$ , we confirm the equality:

	$\displaystyle\operatorname{onzekerheid}(p)+\operatorname{onzekerheid}(q)$	$\displaystyle=\psi_{0}^{2}\psi_{1}^{2}+\frac{(\psi_{0}+\psi_{1})^{2}}{2}\frac{% (\psi_{0}-\psi_{1})^{2}}{2}$
		$\displaystyle=\psi_{0}^{2}\psi_{1}^{2}+\frac{(\psi_{0}^{2}+2\psi_{0}\psi_{1}+% \psi_{1}^{2})(\psi_{0}^{2}-2\psi_{0}\psi_{1}+\psi_{1}^{2})}{4}$
		$\displaystyle=\psi_{0}^{2}\psi_{1}^{2}+\frac{(1+2\psi_{0}\psi_{1})(1-2\psi_{0}% \psi_{1})}{4}$
		$\displaystyle=\psi_{0}^{2}\psi_{1}^{2}+\frac{1-4\psi^{2}_{0}\psi^{2}_{1}}{4}=% \frac{1}{4}.$

Alternatively, you could also parametrize the qubit state by $\left|\psi(\theta)\right\rangle$ and compute that

	$\displaystyle\operatorname{onzekerheid}(p)$	$\displaystyle=\sin^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta)=\frac{1}{4}\sin^{2}(2\theta),$
	$\displaystyle\operatorname{onzekerheid}(q)$	$\displaystyle=\dots=\frac{1}{4}\cos^{2}(2\theta),$

which again shows that $\operatorname{onzekerheid}(p)+\operatorname{onzekerheid}(q)=\frac{1}{4}$ .

For the second part of the problem, an intutive guess is that $\left|\psi(\pi/8)\right\rangle$ should work, since it lies right in the middle of the two states $\left|0\right\rangle=\left|\psi(0)\right\rangle$ and $\left|+\right\rangle=\left|\psi(\pi/4)\right\rangle$ . Indeed:

\displaystyle\operatorname{onzekerheid}(p)=\frac{1}{4}\sin^{2}(\pi/4)=\frac{1}% {4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8},

so also $\operatorname{onzekerheid}(q)=\frac{1}{4}-\operatorname{onzekerheid}(p)=\frac{% 1}{8}$ .

We can test this as follows using Quirky:

The picture confirms that $p_{1}=q_{1}$ , hence also $\operatorname{onzekerheid}(p)=\operatorname{onzekerheid}(q)$ .

De formule die je zojuist hebt bewezen in 4.4 is heel opmerkelijk: Het laat zien dat er een simpele afweging is tussen de onzekerheden van de twee procedures. In het bijzonder, als de ene procedure geen onzekerheid heeft dan produceert de andere een uniform willekeurige uitkomst!¹³¹³ 13 We kunnen dit ook direct zien. Als we bijvoorbeeld direct $\left|+\right\rangle$ meten (een toestand die nul onzekerheid heeft in de tweede procedure) zonder eerst een Hadamard toe te passen, krijgen we de uitkomsten $0$ en $1$ met gelijke waarschijnlijkheid.